Resposta:
Letra D
Explicação passo a passo:
Para efeitos didáticos, façamos:
f(x) = y
1) Se y = u.v ⇒ y' = uv' + vu'
2) Se y = lnu ⇒ y' = 1/u * u'
3) Se y = x ⇒ y' = 1
4) lnxˣ = xlnx
5) y' = f'(x)
Seja y = xˣ
Aplique logaritmo natural aos dois membros
lny = lnxˣ
lny = xlnx
Derivando os dois lados implicitamente:
[tex]\frac{1}{y} *y' =x*\frac{1}{x} +lnx.1\\\\\frac{y'}{y} =1+lnx\\\\y'=y(1+lnx)\\\\y'=x^x(1+lnx)\\\\y'=x^x+x^xlnx[/tex]
Outro modo:
Lembrando que: [tex]a=e^l^n^{a}[/tex]
[tex]y=x^x\\\\y=e^{lnx^{x} }\\\\y=e^{xlnx} \\\\y'=e^{xlnx(x.\frac{1}{x}+lnx.1) }\\\\y'=e^{lnx^{x} } (1+lnx) \\\\y'=x^x(1+lnx)\\\\y'=x^x+x^xlnx[/tex]
