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Sagot :
Resposta:
A fórmula de Taylor para sin(x) em torno de 0 (também chamada de Série de Maclaurin) é:
Somatório com n variando de 0 a infinito de x^(2n+1)*(-1)^n/(2n+1)!, dessa forma, expandino, temos:
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...
Como foi pedido apenas até a ordem 4, temos apenas
sin(x) = x - x^3/6
A expressão que corresponde ao P(x) = x - x³/6. Alternativa C
Polinômio de Taylor de ordem n
Usamos os polinômios de Taylor para aproximar funções na região de um determinado ponto. Quanto maior a ordem do polinômio, maior a precisão da aproximação. Encontramos eles da seguinte forma:
[tex]P_n(x) = f(a) + \sum^n_{k=1} \frac{f^{(k)}(a) \cdot (x-a)^k}{k!}[/tex]
Sendo a o ponto de aproximação, no nosso caso, o zero. Assim, para um polinômio de ordem 4, temos:
[tex]P_4(x) = sen(0) + \frac{f'(0) \cdot x}{1!}+\frac{f''(0) \cdot x^2}{2!}+\frac{f'''(0) \cdot x^3}{3!}+ \frac{f''''(0) \cdot x^4}{4!}[/tex]
Calculemos as derivadas:
- f(x) = sen x
- f'(x) = cos x
- f''(x) = -sen x
- f'''(x) = -cos x
- f''''(x) = sen x
Lembrando que sen 0 = 0 e que cos 0 = 1
[tex]P_4(x) = \frac{ x}{1}+\frac{- x^3}{6}[/tex]
Veja mais sobre o Polinômio de Taylor em:
https://brainly.com.br/tarefa/51431453
https://brainly.com.br/tarefa/20413643
#SPJ2
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