Resposta: P(0, 0, 0) ou P(0, 0, − 4).
Explicação passo a passo:
Se o ponto P(a, b, c) pertence ao eixo z, então as coordenadas x e y do ponto P são nulas, isto é, P é da forma (0, 0, c), com c ∈ ℝ.
A distância de P até T(− 1, 2, − 2) é igual a 3. Tomando a fórmula da distância entre os dois pontos e substituindo as suas coordenadas, devemos ter
[tex]\sqrt{(x_T-x_P)^2+(y_T-y_P)^2+(z_T-z_P)^2}=3\\\\\Longleftrightarrow\quad \sqrt{(-1-0)^2+(2-0)^2+(-2-c)^2}=3\\\\ \Longleftrightarrow\quad \sqrt{(-1)^2+(2)^2+(-2-c)^2}=3\\\\[/tex]
Expanda o quadrado da soma que está entre parênteses (ver produtos notáveis). Depois, agrupe os termos semelhantes:
[tex]\Longleftrightarrow\quad \sqrt{1+4+(4+4c+c^2)}=3\\\\\Longleftrightarrow\quad \sqrt{9+4c+c^2}=3[/tex]
Eleve os dois lados ao quadrado para simplificar a raiz quadrada:
[tex]\Longrightarrow\quad (\sqrt{9+4c+c^2})^2=3^2\\\\\Longleftrightarrow\quad \diagup\!\!\!\! 9+4c+c^2=\diagup\!\!\!\! 9\\\\\Longleftrightarrow\quad 4c+c^2=0[/tex]
Esta é uma equação do 2º grau na variável c. Como não aparece o termo independente, podemos colocar a variável c em evidência. O produto de dois números reais é zero somente se pelo menos um deles é igual a zero:
[tex]\Longleftrightarrow\quad c\cdot (4+c)=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad c=0\quad\mathrm{ou}\quad 4+c=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad c=0\quad\mathrm{ou}\quad c=-\,4\qquad\checkmark[/tex]
Logo, temos duas possibilidades para o ponto P:
⟹ P(0, 0, 0) ou P(0, 0, − 4).
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