Resposta: [tex]\displaystyle\int xe^x\,dx=(x-1)e^x+C.[/tex]
Explicação passo a passo:
Calcular a integral indefinida
[tex]\displaystyle\int xe^x\,dx[/tex]
Utilizaremos o método de integração por partes:
[tex]\begin{array}{lcl}u=x&\quad\Longrightarrow\quad &du=dx\\\\ dv=e^x\,dx&\quad\Longleftarrow\quad&v=e^x \end{array}[/tex]
Aplicando a fórmula de integração por partes e substituindo, temos
[tex]\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du[/tex]
[tex]\displaystyle\Longrightarrow\quad\int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx\\\\\\\\\Longleftrightarrow\quad\int xe^x\,dx=xe^x-e^x+C[/tex]
Colocando o fator comum em evidência, o resultado para a integral fica
[tex]\displaystyle\Longleftrightarrow\quad\int xe^x\,dx=(x-1)e^x+C\quad\longleftarrow\quad \mathsf{resposta.}[/tex]
Obs.: Esta é a forma mais simplificada possível.
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