Resposta:
Utilizando a regra de L'Hôpital, podemos calcular que, quando x tende a 1 o limite da função f é igual a 6.
Explicação passo a passo:
Apesar da função ser o quociente de dois polinômios, o limite da função f(x) não pode ser calculado substituindo o valor 1 na variável x, pois obteríamos a indeterminação 0/0, de fato:
[tex]\dfrac{(3 \cdot 0 + 2) \cdot (1 - 1)}{(1-1)}=\dfrac{2 \cdot 0}{0}=\dfrac{0}{0}[/tex]
Nesses podemos utilizar a regra de L'Hôpital, a qual afirma que, se g e h são duas funções deriváveis num intervalo I, com a derivada de h diferente de zero nos pontos do intervalo I e se:
[tex]\lim_{x \rightarrow a} g(x) = \lim_{x \rightarrow a} h(x) =0[/tex]
Ou:
[tex]\lim_{x \rightarrow a} g(x) = \lim_{x \rightarrow a} h(x) =\infty[/tex]
Então:
[tex]\lim_{x \rightarrow a} \dfrac{g(x)}{h(x)} = \lim_{x \rightarrow a} \dfrac{g'(x)}{h'(x)}[/tex]
Utilizando:
- A regra de L'Hôpital para calcular o limite da função f.
- A regra da derivação de polinômios, a qual afirma que:
[tex]\dfrac{d}{dx}(a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots a_1x+a_0)=na_n x^{n-1} + (n-1)a_{n-2}x^{n-1} + \cdots a_1[/tex]
Podemos escrever:
[tex]\lim_{x \rightarrow 1} f(x)= \lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{(3x+2) \cdot (x-1)}{(x-1)}=\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{(3x^2 -x -2)}{(x-1)}=\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{\dfrac{d}{dx}(3x^2 -x -2)}{\dfrac{d}{dx}(x-1)}=\lim_{x \rightarrow 1} \dfrac{6x}{1}=\dfrac{6 \cdot 1}{1}=6[/tex]
O limite da função f quando x tende a 1 é igual a 6.
Para mais informações sobre a regra de L'Hôpital, acesse:
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