Podemos resolver de uma maneira bem simples, primeiro separamos o 2 e o x na raiz quadrada e fazemos o produto entre o x e a raiz de x, lembrando das propriedades da potência:
[tex]\int\limits^2_0 {x\cdot \sqrt{2\cdot x}} \, \ dx \\ \\\int\limits^2_0 {x\cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{2}} \, \ dx \\ \\\int\limits^2_0 {x^{\frac{3}{2}}}\cdot \sqrt{2} \, \ dx \\ \\\sqrt{2}\cdot \int\limits^2_0 {x^{\frac{3}{2}}} \ dx \\ \\[/tex]
A partir daqui fica bem simples de resolver, só utilizar aquela propriedade das potências, que deve ser uma das primeiras coisas que aprendemos:
[tex]\int\limits {x^{n}} \, dx = \dfrac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}+C[/tex]
Sabendo disso, podemos calcular a integral nesse intervalo:
[tex]\sqrt{2}\cdot \int\limits^2_0 {x^{\frac{3}{2}}} \ dx \\ \\\\\sqrt{2}\cdot [\dfrac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}]^{2}_{0} \\ \\\sqrt{2}\cdot [\dfrac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}]^{2}_{0} \\ \\\sqrt{2}\cdot [\dfrac{2\cdot x^{\frac{5}{2}}}{5}]^{2}_{0} \\ \\\sqrt{2}\cdot [\dfrac{2\cdot2^{\frac{5}{2}}}{5}-\dfrac{2\cdot 0^{\frac{5}{2}}}{5}] \\ \\[/tex]
[tex]\sqrt{2}\cdot \dfrac{2^{\frac{7}{2}}}{5} \\ \\\sqrt{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2^{7}} }{5} \\ \\\dfrac{\sqrt{2\cdot 2^{7}}}{5} \\ \\\dfrac{\sqrt{2^{8}}}{5} \\ \\\dfrac{2^{4}}{5} \\ \\\dfrac{16}{5}[/tex]
Qualquer dúvida só perguntar!
