A área de CDB é igual à área do triângulo maior ABC menos a área do triângulo menor ABD:
[tex]A_{CDB} = A_{ABC} - A_{ABD}[/tex]
A área de ABD é fácil de calcular, pois sabemos os valores da sua base (DA = √3 cm) e de sua altura (AB = 3 cm), e também sabemos que a área de um triângulo é dada por:
[tex]A = \frac{b \times h}{2}[/tex]
Onde b é o comprimento da base e h é a altura do triângulo. Então a área de ABD é:
[tex]A_{ABD} = \frac{\sqrt3 \times 3}{2} = \frac{3}{2}\sqrt3\ cm^2[/tex]
Agora para a área do triângulo maior, ABC. Precisamos descobrir o tamanho da sua base, AC. Se olharmos para o triângulo ABD, temos a seguinte informação sobre a tangente (oposto sobre adjacente) do ângulo 2θ:
[tex]\tan{2\theta} = \frac{AB}{AD} = \frac{3}{\sqrt3} = \sqrt3[/tex]
Se você se lembrar dos ângulos notáveis, vai perceber que a tangente de 60º resulta em √3. Isso quer dizer que:
[tex]2\theta = 60^\circ \longrightarrow \theta = 30^\circ[/tex]
Olhando para o triângulo ABC, vemos que ele tem um ângulo θ, ou 30º. Sabendo que AB vale 3 cm, e sabendo que a tangente de 30º é √3 ÷ 3, temos:
[tex]\frac{\sqrt3}{3} = \frac{3}{AC}\\\\AC = \frac{9}{\sqrt3}\\\\AC = 3\sqrt3\ cm[/tex]
Agora que temos a base de ABC, podemos calcular sua área:
[tex]A_{ABC} = \frac{3\sqrt3 \times 3}{2} = \frac{9}{2}\sqrt3\ cm^2[/tex]
Como já temos as áreas de ABC e ABD, podemos calcular a área de CDB:
[tex]A_{CDB} = \frac{9}{2}\sqrt3 - \frac{3}{2}\sqrt3 = \frac{6}{2}\sqrt3 = 3\sqrt3\ cm^2[/tex]
Logo, a alternativa correta é a letra D.
ATUALIZAÇÃO:
Você me pediu pra resolver isso por lei dos senos e dos cossenos nos comentários. Vou tentar usar onde for possível. Vamos voltar pra antes de você calcular a área de ABD, e em vez disso vamos calcular o valor da hipotenusa desse triângulo:
[tex]BD = \sqrt{(AD)^2 + (AB)^2} = \sqrt{\sqrt3^2 + 3^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt3[/tex]
A lei dos senos nos diz que as razões entre os lados do triângulo e os seus ângulos opostos são iguais umas às outras. No caso do triângulo CDB, o lado BD é oposto ao ângulo θ, e o lado BC é oposto ao ângulo 180º - 2θ. Isso nos dá a seguinte expressão:
[tex]\frac{BD}{\sin\theta} = \frac{BC}{\sin(180^{\circ} - 2\theta)}[/tex]
Se você voltar à minha resposta original, lá eu explico como encontrar o θ. Aplicando o valor descoberto à expressão, ficamos com o seguinte:
[tex]\frac{2\sqrt3}{\sin(30^{\circ})} = \frac{BC}{\sin(120^{\circ})}\\\\BC = \frac{2\sqrt3}{\sin(30^{\circ})} \times \sin(120^{\circ})\\\\BC = 4\sqrt3 \times \frac{\sqrt3}{2} = 6\ cm[/tex]
E o lado CD? Você pode determiná-lo pensando nos ângulos do triângulo: Você tem um ângulo de 30º e um de 120º. Isso quer dizer que o último ângulo tem que ter 30º. Ou seja, o triângulo CDB é um triângulo isósceles, pois tem dois ângulos iguais que definem dois lados iguais. Então CD = BD = 2√3 cm.
Você pode calcular a área de CDB independentemente usando a fórmula de Heron. É assim:
[tex]\sqrt{p(p - BD)(p - CD)(p - BC)}[/tex]
Onde p é o semiperímetro do triângulo (metade do perímetro). Então:
[tex]p = \frac{2 \times 2\sqrt3 + 6}{2} = 2\sqrt3 + 3[/tex]
Substituindo tudo na fórmula:
[tex]A_{CDB} = \sqrt{(2\sqrt3 + 3)(2\sqrt3 + 3 - 2\sqrt3)(2\sqrt3 + 3 - 2\sqrt3)(2\sqrt3 + 3 - 6)}\\\\A_{CDB} = \sqrt{(2\sqrt3 + 3)(3)(3)(2\sqrt3 - 3)}\\\\A_{CDB} = \sqrt{(18\sqrt3 + 27)(2\sqrt3 - 3)}\\\\A_{CDB} = \sqrt{36 \times 3 - 54\sqrt3 + 54\sqrt3 - 81}\\\\A_{CDB} = \sqrt{108 - 81} = \sqrt{27} = \sqrt{3 \times 3 \times 3} = 3\sqrt3\ cm^2[/tex]
Como dá pra ver, a resolução por essas leis acaba sendo mais chatinha do que o método de calcular o triângulo maior e subtrair o menor. E eu não usei a lei dos cossenos justamente por o triângulo ser um triângulo isósceles. Mas se você quiser uma versão usando a lei dos cossenos...
A lei dos cossenos pode ser usada pra determinar CD. O que essa lei diz é que qualquer lado c de um triângulo pode ser encontrado pela fórmula:
[tex]c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos\phi[/tex]
Onde a e b são os outros lados do triângulo e Ф é o ângulo oposto ao lado que você quer determinar. Como já expliquei, Ф = 30º. Então você fica com:
[tex]c = \sqrt{(2\sqrt3)^2 + 6^2 - 2(2\sqrt3)(6) \cdot \cos30^{\circ}}\\\\c = \sqrt{12 + 36 - 24\sqrt3\cdot \frac{\sqrt3}{2}}\\\\c = \sqrt{48 - 36} = \sqrt{12} = \sqrt{2 \times 2 \times 3} = 2\sqrt3[/tex]
Confirmando o que eu disse sobre o triângulo ser isósceles. Aí você pode aplicar isso na fórmula de Heron.
