Resposta:
a) R$ 512,00; R$ 320,00; R$ 448,00.
b) R$ 320,00; R$ 800,00; R$ 160,00.
a) Dividir R$ 1280,00 em partes diretamente proporcionais a 8, 5 e 7.
Sejam x, y e z as partes procuradas diretamente porporcionais a 8, 5 e 7, respectivamente.
Na proporcionalidade direta, a razão entre as grandezas é constante. Logo, devemos ter
[tex]\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{7}=k\qquad (k\mathrm{~constante).}[/tex]
Disso, segue que
[tex]\Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}x=8k\\ y=5k\\ z=7k \end{array}\right.\qquad\mathrm{(i)}[/tex]
A soma das partes deve resultar 1280,00:
[tex]x+y+z=1280\\\\\Longleftrightarrow\quad 8k+5k+7k=1280\\\\\Longleftrightarrow\quad 20k=1280\\\\\Longleftrightarrow\quad k=\dfrac{1280}{20}\\\\\\\Longleftrightarrow\quad k=64[/tex]
Logo, as partes procuradas são
[tex]x=8k\\\\\Longleftrightarrow\quad x=8\cdot 64\\\\\Longleftrightarrow\quad x=512,\!00\qquad\checkmark[/tex]
[tex]y=5k\\\\\Longleftrightarrow\quad y=5\cdot 64\\\\\Longleftrightarrow\quad y=320,\!00\qquad\checkmark[/tex]
[tex]z=7k\\\\\Longleftrightarrow\quad z=7\cdot 64\\\\\Longleftrightarrow\quad z=448,\!00\qquad\checkmark[/tex]
b) Dividir R$ 1280,00 em partes inversamente proporcionais a 5, 2 e 10.
Sejam x, y e z as partes procuradas inversamente porporcionais a 5, 2 e 10, respectivamente.
Na proporcionalidade inversa, o produto das grandezas é constante. Logo, devemos ter
[tex]5x=2y=10z=k\qquad (k\mathrm{~constante).}[/tex]
A soma das partes deve resultar 1280,00:
[tex]x+y+z=1280[/tex]
Multiplique os dois lados por 10 = mmc(5, 2, 10) para facilitar os cálculos:
[tex]\Longleftrightarrow\quad 10\cdot (x+y+z)=10\cdot 1280\\\\\Longleftrightarrow\quad 10x+10y+10z=12800[/tex]
Coloque 5x, 2y e 10z em evidência no lado esquerdo, e depois substitua cada um deles pela constante k:
[tex]\Longleftrightarrow\quad 2\cdot (5x)+5\cdot (2y)+1\cdot (10z)=12800\\\\\Longleftrightarrow\quad 2k+5k+1k=12800\\\\\Longleftrightarrow\quad 8k=12800\\\\\Longleftrightarrow\quad k=\dfrac{12800}{8}\\\\\\\Longleftrightarrow\quad k=1600[/tex]
Encontrando as partes procuradas:
[tex]5x=k\\\\\Longleftrightarrow\quad 5x=1600\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{1600}{5}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=320,\!00\qquad\checkmark[/tex]
[tex]2y=k\\\\\Longleftrightarrow\quad 2y=1600\\\\ \Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{1600}{2}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad y=800,\!00\qquad\checkmark[/tex]
[tex]10z=k\\\\\Longleftrightarrow\quad 10z=1600\\\\ \Longleftrightarrow\quad z=\dfrac{1600}{10}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad z=160,\!00\qquad\checkmark[/tex]
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