O Principia Mathematica de Whitehead e Russell é famoso por levar mil páginas para provar que [tex]1+1=2[/tex]. Claro, isso prova muitas outras coisas também. Se eles quisessem provar apenas que [tex]1+1=2[/tex], provavelmente teria levado apenas metade do espaço.
Por exemplo, a seção ∗22, "Cálculo de Classes", começa definindo a relação de subconjunto (∗22.01), e as operações de união e interseção de conjuntos (∗22.02 e .03), o complemento de um conjunto (∗22.04) , e a diferença de dois conjuntos (∗22,05). Em seguida, prova a comutatividade e associatividade da união de conjuntos e interseção de conjuntos (∗22.51, .52, .57 e .7), várias propriedades como [tex]\alpha \cap \alpha =\alpha \:[/tex] (∗22.5) e similares, trabalhando até teoremas como ∗ 22.92: [tex]\alpha \subset \beta \rightarrow \alpha \cup \left(\beta -\alpha \right)[/tex].
A seção ∗23 é "Cálculo de Relações" e começa quase exatamente da mesma maneira, definindo a relação de sub-relação (∗23.01), e as operações de união e interseção relacional (∗23.02 e .03), o complemento de uma relação (∗ 23.04), e a diferença de duas relações (∗23.05). Mais tarde, prova a comutatividade e associatividade da união e interseção relacional (∗23.51, .52, .57 e .7), várias propriedades como [tex]\alpha\dot{ \cap } \alpha =\alpha[/tex] (∗22.5) e similares, trabalhando até teoremas como ∗ 23.92: [tex]\alpha \dot{\subset }\beta \rightarrow \alpha \dot{\cup }\left(\beta \dot{-}\alpha \right)[/tex].
Foi assim que Whitehead e Russell fizeram em 1910. Como faríamos isso hoje? Uma relação entre [tex]S[/tex] e [tex]T[/tex] é definida como um subconjunto de [tex]S\times T[/tex] e, portanto, é um conjunto. União, interseção, diferença e outras operações são precisamente as mesmas para as relações e para os conjuntos, porque as relações são conjuntos. Todos os teoremas sobre uniões e interseções de relações, como [tex]\alpha\dot{ \cap } \alpha =\alpha[/tex], simplesmente desaparecem, porque já os provamos para conjuntos e relações são conjuntos. A relação nula é o conjunto nulo. A relação universal é o conjunto universal.
Uma enorme quantidade de outras máquinas desaparece em 2006, por causa da unificação de relações e conjuntos. Principia Mathematica precisa de uma notação especial e uma definição especial para o resultado de restringir uma relação àqueles pares cujo primeiro elemento é membro de um determinado conjunto [tex]S[/tex], ou cujo segundo elemento é membro de [tex]S[/tex], ou ambos cujos elementos são membros de [tex]S[/tex]; em 2006, usaríamos apenas a operação comum de interseção de conjuntos e falaríamos sobre [tex]R\cap \left(S\times B\right)[/tex] ou qualquer outra coisa.
Whitehead e Russell não puderam fazer isso em 1910 porque faltava uma peça crucial do maquinário: o par encomendado. Em 1910, ninguém sabia como construir um par ordenado apenas com lógica e conjuntos. Em 2006 (ou mesmo 1956), definiríamos o par ordenado [tex]< a,\:b >[/tex] como o conjunto {{a}, {a, b}}. Então mostraríamos como um teorema que [tex]< a,\:b > = < c,\:d >[/tex] se e somente se [tex]a=c[/tex] e [tex]b=d[/tex], usando propriedades de conjuntos. Então definiríamos [tex]A\times B[/tex] como o conjunto de todos os p tais que [tex]p= < a,\:b > \wedge a\in A\wedge b\in B[/tex]. Então definiríamos uma relação nos conjuntos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] como um subconjunto de [tex]A\times B[/tex] . Então teríamos todos ∗23 e ∗25 e muitos ∗33 e ∗35 e ∗36 de graça, e provavelmente muitas outras coisas também.
Não há pares ordenados no Principia Mathematica, exceto implicitamente. Quase não há conjuntos. Whitehead e Russell querem basear tudo na lógica. Para Whitehead e Russell, a noção fundamental é a "função proposicional", que é uma função φ cuja saída é um valor de verdade. Para cada uma dessas funções, existe um conjunto correspondente, que eles denotam por [tex]\^{x}\phi \left(x\right)[/tex], o conjunto de todos os [tex]x[/tex] tais que [tex]\Phi \left(x\right)[/tex] é verdadeiro. Para Whitehead e Russell, uma relação é implicada por uma função proposicional de duas variáveis, análoga à forma como um conjunto é implicado por uma função proposicional de uma variável. Em 2006, dispensamos as "funções de duas variáveis", e falamos apenas de funções cujo argumento (único) é um par ordenado; uma relação torna-se então o conjunto de todos os pares ordenados para os quais uma função é verdadeira.
