Olá, Hiang.
Se [tex]u,v,w[/tex] são autovetores e [tex]y_1,y_2,y_3[/tex] são autovalores então satisfazem as seguintes identidades:
[tex]Tu=y_1u\\Tv=y_2v\\Tw=y_3w[/tex]
Observação: autovetores e autovalores são vetores e valores que possuem a propriedade especial de não alterarem a direção de um vetor após aplicada a transformação linear T. Voltemos.
Vou fazer o início dos cálculos para o autovetor [tex]u[/tex] e para o autovalor [tex]y_1.[/tex]
Os cálculos para os outros dois autovalores e autovetores é análogo.
[tex]Tu=y_1u \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}t_{11}&t_{12&t_{13\\t_{21&t_{22&t_{23\\t_{31&t_{32&t_{33\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}1\\-1\\2\end{array}\right] = 4 \left[\begin{array}{c}1\\-1\\2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\-4\\8\end{array}\right][/tex]
Fazendo o mesmo para os autovetores [tex]v,w[/tex] e seus respectivos autovalores associados [tex]y_2,y_3[/tex], vamos obter um sistema linear 3x3 para [tex]t_{11},t_{12},t_{13},[/tex] outro para [tex]t_{21},t_{22},t_{23},[/tex] e outro para [tex]t_{31},t_{32},t_{33}[/tex].
Resolvidos os três sistemas 3x3 e, ao final, encontrados os valores de [tex]t_{11},t_{12},...,t_{32},t_{33},[/tex] está encontrada, portanto, a matriz T, chamada de operador linear.
Calcule agora u - 2v + 3w (adição trivial de vetores multiplicados por escalares).
Por último, T(u - 2v + 3w) é a multiplicação de matriz por vetor Tz, onde z = u - 2v + 3w.
