Resposta:
[tex]Area=108{\sqrt{3}[/tex] u.a. logo a )
Explicação passo a passo:
Observação 1 → Triângulo equilátero é aquele em que as dimensões de
seus lados são todas iguais.
Observação 2 → Num triângulo equilátero a altura, que é perpendicular à
base, divide esta base em dois segmentos iguais.
Também divide o triângulo equilátero em dois triângulos retângulos
iguais.
Observação 3 → Potenciação e radiciação
Elevar , ao quadrado , uma raiz quadrada o valor que fica é apenas o
da base de potência no radicando.
Porque a potenciação e a radiciação são operações inversas que se
cancelam mutuamente, quando estão em simultâneo
Exemplo
[tex](\sqrt{3})^2=3[/tex]
Será então:
Lado ; Perímetro ; Área Progressão Geométrica ( P. G. )
Representando Lado por " L "
Perímetro = 3 * L
A P.G. começa por ficar : L ; 3 L ; Área
[tex]Area...triangulo=\dfrac{base*altura}{2}=\dfrac{base}{2} *altura[/tex]
A base sabemos que é a medida de um lado . Base = L
Cálculo da altura.
Esboço do triângulo equilátero
C
º
º | º
º | º
º | º
ººººººººººººººººººººººººº
A D B
Dados:
AB = BC = AC por ser triângulo equilátero
AD = altura, vou chamar-lhe " h "
ângulo ADB é retângulo
AD = DB = L /2
Cálculo da altura ( h )
Usando o Teorema de Pitágoras
[tex]BC^2=CD^2+DB^2[/tex]
[tex]L^2=h^2+(\dfrac{L}{2}) ^2[/tex]
[tex]L^2-(\dfrac{L}{2}) ^2 =h^2[/tex]
[tex]L^2-\dfrac{L^2}{2^2} =h^2[/tex]
[tex]\dfrac{L^2}{1} -\dfrac{L^2}{4} =h^2[/tex]
[tex]\dfrac{4*L^2}{1*4} -\dfrac{L^2}{4} =h^2[/tex]
[tex]\dfrac{4L^2-L^2}{4} =h^2[/tex]
[tex]\dfrac{3L^2}{4} =h^2[/tex]
[tex]\sqrt{\dfrac{3L^2}{4} } =h[/tex]
[tex]h = \dfrac{\sqrt{3} *\sqrt{L^2} }{\sqrt{4} } =\dfrac{\sqrt{3} *L}{2}[/tex]
A área do triângulo equilátero fica
[tex]Area=\dfrac{base}{2} *h[/tex] Base é L do triângulo equilátero
[tex]Area=\dfrac{L}{2} *\dfrac{\sqrt{3}*L }{2}=\dfrac{\sqrt{3}*L*L }{2*2}=\dfrac{\sqrt{3}*L^2 }{4}[/tex] ( I )
A P. G. ficará
[tex]L;3L;\dfrac{\sqrt{3}*L^2 }{4}[/tex] L ; 3 L ; Área
Numa PG a razão é o valor de um termo a dividir pelo anterior
[tex]razao...desta...PG=\dfrac{3L}{L} =3[/tex]
O termo geral de uma P.G. é
[tex]a_{n} =a_{1} *q^{n-1}[/tex] ( q = razão da PG )
Sendo a área o terceiro termo ficará
[tex]area=L*3^{(3-1)}=L*3^2=9L[/tex]
Pegando em ( I )
[tex]\dfrac{\sqrt{3}*L^2 }{4}=9L[/tex]
Calculemos o L ( lado )
[tex]\dfrac{\sqrt{3}*L^2 }{4}=\dfrac{9L}{1}[/tex]
produto cruzado
[tex]\sqrt{3}*L^2 =4*9L[/tex]
dividindo ambos os membros por L
[tex]\dfrac{\sqrt{3}*L^2 }{L} =\dfrac{36L}{L}[/tex]
[tex]\sqrt{3}*L=36[/tex]
dividindo ambos os membros por √3
[tex]L=\dfrac{36}{\sqrt{3} }[/tex]
Para racionalizar o denominador multiplica-se ambos os termos da fração
por √3
[tex]L=\dfrac{36*\sqrt{3} }{\sqrt{3}*\sqrt{3} }=\dfrac{36\sqrt{3} }{(\sqrt{3})^2 } =\dfrac{36\sqrt{3} }{3} =\dfrac{36:3\sqrt{3} }{3:3}=12\sqrt{3}[/tex]
Tínhamos a Área , em ( I )
[tex]Area=\dfrac{\sqrt{3}*L^2 }{4}[/tex]
Sabemos a dimensão do L
[tex]Area=\dfrac{\sqrt{3}*(12\sqrt{3} )^2 }{4}[/tex]
[tex]Area=\dfrac{\sqrt{3}*12^2*(\sqrt{3})^2 }{4}[/tex]
[tex]Area=\dfrac{\sqrt{3}*144*3 }{4}[/tex]
[tex]Area=\dfrac{\sqrt{3}*432 }{4}[/tex]
Dividindo numerador e denominador por 4
[tex]Area=\dfrac{\sqrt{3}*432:4 }{4:4}[/tex]
[tex]Area=108{\sqrt{3}[/tex] u.a. logo a )
Bons estudos.
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( * ) multiplicação ( u.a. ) unidades de área ( : ) divisão
Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.
O que eu sei, eu ensino.
