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Sagot :
Temos as seguintes afirmações:
[tex]{\bf( F )}\:\: ( A+B)^2=A^2+2AB+B^2 [/tex]
[tex]{\bf( F )}\:\: (A-B)^2= A^2-B^2 [/tex]
[tex]{\bf( V )}\:\: C.I = C [/tex]
O objetivo é determinarmos quais são verdadeiras e quais são falsas.
Explicação:
Para que haja um bom entendimento, vamos analisar item por item.
- Primeira afirmação:
Vamos iniciar fazendo a expansão deste produto notável de matrizes, para que possamos observar uma pequena recorrência.
[tex] \begin{cases}(A+B)^2 =(A + B).(A + B) \\(A+B)^2 =A.A + AB + BA + B {}^{2} \\(A+B)^2 =A {}^{2} + AB + BA + B {}^{2} \end{cases}[/tex]
Na operação com os números reais, sabemos que [tex] \bf AB = BA[/tex], mas no caso das matrizes não podemos fazer esta mesma afirmação.
- Uma vez que a multiplicação de matrizes não é comutativa, já que existem matrizes onde [tex]\bf AB \neq BA[/tex].
- Segunda afirmação:
Do mesmo jeito do anterior, vamos iniciar pela expansão do produto notável.
[tex] \begin{cases}(A - B)^2 = (A - B) \cdot(A - B) \\(A - B)^2 = AA - AB - BA + BB \\(A - B)^2 = A {}^{2} - AB - BA + B {}^{2} \end{cases}[/tex]
Como pode ser observado, além da expansão mostrada no enunciado estar errada, podemos ver também que caímos no mesmo caso da anterior, onde não podemos afirmar que o produto formado através da expansão não é igual, já que não cumpre com a comutatividade.
- Terceira afirmação:
Nesta afirmação, é dito que o produto entre uma matriz A de ordem n, com uma matriz identidade I de mesma ordem, sempre gera a matriz A.
Para analisar se isto é verdade, vamos fazer um exemplo com um caso hipotético de matrizes.
[tex] \: \: \: \: C = \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} \: \: e \: \: I = \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} \\ \\ A \cdot I = \begin{bmatrix}a.1 + b.0&0.a + b.1\\c.1 + d.0&c.0 + d.1\end{bmatrix} \\ \\ C \cdot I = \begin{bmatrix}a&b\\c&d \end{bmatrix}[/tex]
- A multiplicação de uma matriz A qualquer pela matriz identidade [tex]\bf I_n[/tex] , tem como resultado a matriz A, ou seja: [tex]\bf C . I_n = I_n . C = C[/tex]
Além disto, vale ressaltar que a multiplicação é comutativa neste caso, como pode ser observado acima.
Portanto, temos que esta afirmação é correta.
Espero ter ajudado
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