Com os cálculo realizado concluímos que a medida da altura relativa ao vértice é de [tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ d_{HC} =\dfrac{9 \: \sqrt{5} }{ 5 } } $ }[/tex] e que corresponde alternativa correta a letra C.
Declividade ou coeficiente angular de uma reta:
[tex]\Large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \text {$ \sf m =\dfrac{y - y_0}{x - x_0} $ }}}[/tex]
Equação da reta quando são conhecidos um ponto [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf P\: (\: x, y \: ) $ }[/tex] e a declividade de [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf m $ }[/tex] da reta.
[tex]\Large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \text {$ \sf y -y_0 = m \cdot ( x -x_0) $ }}}[/tex]
Equação da reta geral:
Toda reta do plano possui uma equação da forma:
[tex]\Large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \text {$ \sf ax +by +c = 0 $ }}}[/tex]
Um ponto [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf P \: (\: x_P, y_P \:) $ }[/tex] e uma reta [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf r $ }[/tex] de equação [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf ax + by+ c $ }[/tex], o cálculo da distância de [tex]\textstyle \sf \text {$ \sf P ~ a ~ r. $ }[/tex]
[tex]\Large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \text {$ \sf d =\dfrac{\mid ax_P + by_P +c \mid}{\sqrt{a^2 + b^2} } $ }}}[/tex]
Dados fornecidos pelo enunciado:
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \begin{cases}\sf A \:( \: 1,2\: ) \\ \\\sf B \:( \: 3, 1\: ) \\ \\\sf C \:( \: 6,4\: ) \end{cases} } $ }[/tex]
Analisando a figura que está em anexo , temos:
Primeiramente devemos determinar o coeficiente angular da reta r.
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ m = \dfrac{y - y_0}{x - x_0} } $ }[/tex]
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ m = \dfrac{1 - 2}{3 - 1} = -\:\dfrac{1}{2} } $ }[/tex]
Agora devemos determinar a equação geral da reta usando a declividade da reta.
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y-y_0 = m\cdot (x -x_0) } $ }[/tex]
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y-2 = -\: \dfrac{1}{2} \cdot (x -1) } $ }[/tex]
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y-2 = -\: \dfrac{1}{2}\; x + \dfrac{1}{2} } $ }[/tex]
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ y = -\: \dfrac{1}{2}\; x + \dfrac{1}{2} +2 } $ }[/tex]
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{2y}{2} = -\: \dfrac{1}{2}\; x + \dfrac{1}{2} + \dfrac{4}{2} } $ }[/tex]
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ \dfrac{2y}{2} = -\: \dfrac{1}{2}\; x + \dfrac{5}{2} } $ }[/tex]
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ 2y = -x +5 } $ }[/tex]
[tex]\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x +2y - 5 = 0 }[/tex]
Agora devemos determinar a medida da altura relativa ao vértice.
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ d =\dfrac{\mid ax_P + by_P +c \mid}{\sqrt{a^2 + b^2} } } $ }[/tex]
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ d_{HC} =\dfrac{\mid 1 \cdot 6 +2\cdot 4 - 5 \mid}{\sqrt{1^2 + (-2)^2} } } $ }[/tex]
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ d_{HC} =\dfrac{\mid 6 +8 - 5 \mid}{\sqrt{1 + 4} } } $ }[/tex]
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ d_{HC} =\dfrac{\mid 14 - 5 \mid}{\sqrt{5} } } $ }[/tex]
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ d_{HC} =\dfrac{9}{\sqrt{5} } } $ }[/tex]
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ d_{HC} =\dfrac{9}{\sqrt{5} } \cdot \dfrac{\sqrt{5} }{ \sqrt{5} } } $ }[/tex]
[tex]\large \displaystyle \text { $ \mathsf{ d_{HC} =\dfrac{9\: \sqrt{5} }{\sqrt{25} } } $ }[/tex]
[tex]\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf d_{HC} =\dfrac{9 \:\sqrt{5} }{5 } }[/tex]
Alternativa correta é a letra C.
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