O determinante da matriz em questão é igual a 23.
Existem uma variedade de técnicas para o cálculo de determinantes conhecidas na Matemática. Pra esse caso específico, vamos utilizar a regra de Chió. Essa técnica, por sua vez, consiste em reduzir a ordem de uma matriz para tornar o cálculo do seu determinante uma tarefa mais simples.
- Redução de ordem 3 x 3 para 2 x 2
[tex]\sf{A=\begin{vmatrix}\sf{1} &\sf{2} &\sf{3} \\ \sf{4} & \sf{-1} &\sf{-1} \\ \sf{1}&\sf{1} &\sf{-1} \\\end{vmatrix}}\Rightarrow \sf{A'=\begin{vmatrix} \sf{-1-4\cdot 2}&\sf{-1-4\cdot 3} \\\sf{1-1\cdot 2} & \sf{-1-1\cdot 3} \\\end{vmatrix}}\\ \\ \\ \sf{A'=\begin{vmatrix} \sf{-9}&\sf{-13} \\\sf{-1} & \sf{-4} \\\end{vmatrix}}[/tex]
Reduzimos a matriz A de ordem 3 para ordem 2. O determinante de uma matriz de ordem 2 pode ser facilmente calculado da seguinte forma:
[tex]\sf{A'=\begin{vmatrix} \sf{-9}&\sf{-13} \\\sf{-1} & \sf{-4} \\\end{vmatrix}}\\ \\ \\ \sf{Det(A')=-[(-13)\cdot(-1)]+[(-9)\cdot(-4)]}\\ \\ \sf{Det(A')=-13+36}\\ \\ \large\boxed{\boxed{\sf{Det(A')=23}}}~\checkmark~[/tex]
Ou seja, concluímos que o determinante da matriz em questão é igual a 23.
Espero que te ajude!
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