O valor da integral definida em questão é 7416.
Para resolvermos essa questão devemos nos lembrar das técnicas de integração. Neste problema utilizaremos a substituição simples. Para facilitar o entendimento, resolveremos inicialmente a integral indefinida:
[tex]\sf{\displaystyle\int(7x-2)^2\;dx}[/tex]
Começaremos a resolver a integral chamando u = 7x - 2:
[tex]\sf{Subst. =}\left\{\begin{matrix}\sf{u=7x-2\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=7} & \\ & \\\sf{dx=\dfrac{1}{7}\;du}& \\&\end{matrix}\right.[/tex]
Colocando na integral, teremos:
[tex]\sf{\displaystyle\int(7x-2)^2\;dx}=\sf{\dfrac{1}{7}\cdot\displaystyle\int u^2\;du}\\ \\ \\ \sf{I=\dfrac{1}{7}\cdot \dfrac{u^3}{3}}\\ \\ \\ \sf{I =\dfrac{u^3}{21}+C}\to\sf{Retornando\;para\;x,\;teremos:}\\ \\ \\ \sf{I =\dfrac{(7x-2)^3}{21}+C}[/tex]
Com a integral indefinida resolvida, basta que apliquemos o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrarmos o valor da integral definida. Veja como ficará:
[tex]\sf{I =\dfrac{(7x-2)^3}{21}\Big|_2^8}\\ \\ \\ \sf{I=\dfrac{1}{21}\cdot[(7\cdot 8-2)^3-(7\cdot 2-2)^3]}\\ \\ \\ \sf{I=\dfrac{1}{21}\cdot[(54)^3-(12)^3]}\\ \\ \\ \sf{I=\dfrac{1}{21}\cdot 155736}\\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\sf{I=7416}}}~\checkmark~[/tex]
Ou seja, encontramos que a integral definida em questão resulta em 7416.
Espero que te ajude!
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