Resposta:[tex]24\sqrt{3}[/tex]
Explicação passo a passo:
O triângulo em questão é escaleno, ou seja, possui todos os ângulos e lados com valores diferentes.
Levando-se em consideração algumas propriedades de ângulos podemos achar os valores que faltam.
Note que no enunciado é falado que o [tex]\alpha[/tex] é menor que 90°, ou seja, o ângulo é agudo. Quando somado ao ângulo de 60º, ainda mantém-se um ângulo menor que 90º. Podendo se concluir que o ângulo [tex]\alpha[/tex] é menor ou igual a 29° e maior ou igual a 1° ( pois o maior ângulo agudo possível é 89°, não considerando minutos e segundos.)
Assim:
1° [tex]\leq[/tex] [tex]\alpha[/tex] [tex]\leq[/tex] 29°
Mas bem, essa foi uma observação.
Outra possível é, como o triângulo está sobre um plano, então podemos dizer que:
[tex]180 = 60 + \alpha + \beta[/tex]
sendo [tex]\beta[/tex] o ângulo complementar.
assim:
[tex]\alpha + \beta = 120[/tex]°
Agora relacionando ao desenho. Podemos desenhar uma reta paralela ao plano onde está o triângulo, de modo que essa reta tangencie o vértice B do triângulo.
(Vou deixar o desenho no final)
Agora que temos duas retas paralelas, podemos relacionar os ângulos através de propriedades.
Temos dois lados do triângulo que relaciona as duas retas: o segmento BC e o segmento AB. Sendo assim, podemos relacionar os ângulos existentes em cada uma das retas através desses segmentos transversais que as interceptam.
60 + [tex]\alpha[/tex] será um dos alterno interno , ou seja, os dois possuem o mesmo valor em lados alternados a reta BC
e, por conseguinte, β tbm será alterno interno.
Como o segmento AB tbm intercepta as duas retas paralelas, a relação de ângulos tbm vale para elas assim
60º é um alterno interno do segmento BA com a reta s e [tex]\alpha + \beta[/tex] é outro alterno interno.
É possível, então, concluir que o ângulo do vértice ABC é:
ABC = 60 + [tex]\alpha[/tex] - 60
ABC = [tex]\alpha[/tex]
Agora, seguindo a Lei dos Senos, podemos achar a constante de proporcionalidade entre a medida e o seno do ângulo oposto.
Assim:
[tex]\frac{20}{sen \alpha } = \frac{20}{ \frac{5}{12} } = \frac{20 * 12 }{5} = 4* 12 = 48 \\ \\[/tex]
Assim, a constante de proporcionalidade para qualquer lado do triângulo e o seno de seu ângulo oposto é 48. Sendo assim, podemos encontrar o lado BC.
[tex]\frac{BC}{sen 60} = 48[/tex]
[tex]\frac{BC}{\frac{\sqrt{3} }{2} } = 48[/tex]
[tex]BC = \frac{48\sqrt{3} }{2}[/tex]
[tex]BC = 24\sqrt{3}[/tex]
________________________________________________________
OBS: Fiz pelo Paint, não ficou muito bem desenhado
