Resposta:
y = 2x ou 2x - y = 0
Explicação passo a passo:
Podemos calcular a equação da reta tangente derivando essa equação. Pela regra da divisão de derivadas:
[tex](\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}[/tex]
Então:
[tex]\frac{d}{dx} \frac{2x}{(x + 1)^2} = \frac{2(x + 1)^2 - 4x(x + 1)}{(x + 1)^4}[/tex]
[tex]= \frac{2(x + 1) - 4x}{(x + 1)^3} = \frac{2x + 2 - 4x}{(x + 1)^3} = \frac{-2x + 2}{(x + 1)^3}[/tex]
[tex]= -\frac{2x - 2}{(x + 1)^3}[/tex]
Substituindo x = 0 na derivada obtida, temos:
[tex]-\frac{2 * 0 - 2}{(0 + 1)^3} = \frac{-2}{1} = -(-2) = 2[/tex]
que é a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado. Por fim, basta colocar esse valor na equação da reta y = αx + b: como α representa a inclinação da reta, e b representa o ponto onde a reta corta o eixo y (vimos que em x = 0, y = 0), temos:
y = 2x ou 2x - y = 0
