1)
Ter conhecimento das definições, propriedades e teoremas que envolvem conjuntos e números, são de suma importância na área da Matemática. Diante desses conhecimentos, analise as afirmativas que seguem.
I – O numerador e o denominador de um número racional são primos entre si.
II – O conjuntos dos números racionais é fechado em relação à adição e multiplicação.
III – O conjunto dos números reais é composto pela união dos números racionais e irracionais.
Em relação as afirmações, assinale a alternativa correta.
Alternativas:
a)
I, II e III estão corretas
Alternativa assinalada
b)
Apenas I e II estão corretas
c)
Apenas II e III estão corretas
d)
Apenas II está correta.
e)
Apenas III está correta.
2)
Números racionais podem aparecer na forma de fração, na forma de números decimais exatos, na forma de dízimas periódicas, como números inteiros, e como positivos ou negativos. Considerando isso, analise as afirmativas que seguem e marque V quando for verdadeiro ou F quando for falso.
( ) Números decimais podem ter uma parte inteira e uma parte decimal exata.
( ) Em uma divisão, se a parte decimal possui um grupo de números que se repete infinitamente, temos uma dizima periódica.
( ) O conjuntos dos números racionais é enumerável, pois é finito.
Assinale a alternativa que contenha a sequência correta.
Alternativas:
a)
F – V – F.
b)
V – F – V.
c)
V – V – F.
Alternativa assinalada
d)
F – F – V.
e)
F – V – V.
3)
De acordo com Souza (2013) um dos marcos ao início do desenvolvimento histórico dos números reais foi a crise pitagórica na Grécia, ocasionada pela descoberta dos segmentos incomensuráveis, que provavelmente deve ter sido feita por um pitagórico, no período entre 500 e 350 a.C. A partir destes estudos e considerando o conjunto dos números reais positivos open parentheses straight real numbers comma plus comma times close parentheses, que é um subconjunto próprio dos reais, isto é, straight real numbers to the power of plus subset of straight real numbers, tal que satisfaz algumas propriedades (Note que 0 element of straight real numbers to the power of plus).
SOUZA, J. S. Números reais: Um corpo ordenado e completo. Goiânia, 2013.
Assim, diante disso, analise as afirmativas que seguem, marque V quando for verdadeiro ou F quando for falso.
( ) Dados x comma y element of straight real numbers to the power of plus, tem-se que: x plus y element of straight real numbers to the power of plus e x times y element of straight real numbers, ou seja, straight real numbers to the power of plus é fechado em relação a adição e a multiplicação.
( ) Dados x element of straight real numbers, ocorre exatamente uma das três alternativas: ou x equals 0 ou x element of straight real numbers to the power of plus ou negative x element of straight real numbers to the power of plus, onde 0 é o elemento neutro da adição.
( ) O conjunto dos números reais positivos straight real numbers to the power of plus pode ser visto como um intervalo aberto a direita.
Assinale a alternativa que contém a sequência correta:
Alternativas:
a)
V – F – V.
b)
V – V – F.
c)
V – V – V.
Alternativa assinalada
d)
F – F – V.
e)
V – F – F.
4)
Para demonstrar que o conjunto dos números reais é não-enumerável, utilizamos o Teorema dos intervalos encaixados.
Teorema dos intervalos encaixados: Seja uma sequência de intervalos fechados e limitados l subscript 1 superset of l subscript 2 superset of horizontal ellipsis. Então existe x element of straight real numbers tal que x pertence a cada um dos intervalos l subscript k comma space k element of straight natural numbers.
Analise as afirmações a seguir considerando a demonstração da propriedade de que o conjunto dos números reais é não-enumerável.
I. Se supor que straight real numbers é enumerável, isto é, straight real numbers equals open curly brackets x subscript 1 comma space x subscript 2 comma space horizontal ellipsis close curly brackets, chegamos na contradição do Teorema dos intervalos encaixados, onde não encontramos nenhum elemento de straight real numbers que pertença ao intervalos encaixados.
II. Os intervalos encaixados é definido da seguinte maneira: seja l subscript k um intervalo fechado tal que x subscript k element of l subscript k space e l subscript k plus 1 end subscript superset of l subscript k comma space k element of straight natural numbers.
III. A sequência dos intervalos l subscript k satisfaz a hipótese do Teorema dos intervalos encaixados.
A partir das asserções acima assinale a alternativa correta.
Alternativas:
a)
Apenas I e II estão corretas.
b)
Apenas II e III estão corretas.
c)
Apenas I e III estão corretas.
Alternativa assinalada
d)
Apenas I está correta.
e)
Apenas II está correta.
5)
Respostas: 1 a, 2 c, 3 c, 4 c, 5 b
