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Sagot :
Resposta:
[tex]\nabla f(x,y) = (6xy^2, 6x^2y)[/tex]
Explicação passo a passo:
O vetor gradiente de uma função é dada por
[tex]\nabla f(x,y) = (\frac{df}{dx}(x,y), \frac{df}{dy}(x,y))[/tex]
Sabemos que a função é dada por f(x,y) = 3x²y²
[tex]\frac{df}{dx}(x,y) = 6xy^2[/tex] [tex]\frac{df}{dy} (x,y)= 6x^2y[/tex]
Logo o vetor gradiente é dado por
[tex]\nabla f(x,y) = (6xy^2, 6x^2y)[/tex]
✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o vetor gradiente da referida função polinomial de duas variáveis, aplicado ao ponto "P" é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\ \vec{\nabla} f(x, y) = (6xy^{2},\,6x^{2}y)\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Seja a função polinomial:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x, y) = 3x^{2}y^{2}\end{gathered}$}[/tex]
Seja f uma função em duas variáveis x e y, o seu gradiente é definindo como:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y), \, f_{y}(x, y) \rangle = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$}[/tex]
Então, temos:
- Calculando o vetor gradiente da função:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y),\,f_{y}(x, y)\rangle\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 2\cdot3\cdot x\cdot y^{2} \cdot\vec{i} + 2\cdot3\cdot x^{2}\cdot y\cdot \vec{j}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 6xy^{2}\,\vec{i} + 6x^{2}y\,\vec{j}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (6xy^{2},\,6x^{2}y)\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, o vetor gradiente da função aplicado ao ponto P é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = (6xy^{2},\,6x^{2}y)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
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