✅ O resultado da expressão numérica dada é [tex] \rm 3 [/tex]
⁉️ O que é um número elevado a meio [ ½ ]? Generalizando, o que é um número elevado a um expoente fracionário? Parece intrigante, no entanto é uma jogada numérica muito importante. Vamos descobrir na prática! ☺
☁️ Irei partir da noção comum do produto de potências de mesmaa base. Intuitivamente, podemos demonstrar sem muitas regalias, somente expandindo
[tex] \large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm \alpha^n \cdot \alpha^m &=\rm \underbrace{\alpha \cdot \alpha \cdot \ldots}_{\rm n ~ vezes} \cdot \underbrace{\alpha \cdot \alpha \cdot \ldots}_{\rm m~vezes} \\\\\rm &=\rm \underbrace{\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \ldots}_{\rm n+m ~ vezes} \\\\&=\rm \alpha^{n+m} \end{aligned} \end{array} [/tex]
Ou seja, mantemos a base e somamos os expoentes.
☁️ Sabendo disso, podemos deduzir a propriedade do expoente fracionário apenas fazendo um caso à parte, observe
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \alpha^{^1\!\!/\!_2} \cdot \alpha^{^1\!\!/\!_2} &=\rm \alpha^{^1\!\!/\!_2 + ^1\!\!/\!_2} = \alpha^1 = \alpha \end{array} [/tex]
⚠️ Olha que interessante, um número elevado a meio multiplicado por outro número elevado a meio dá o próprio número, ao ver que isso era recorrente, introduziram uma notação, um símbolo
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \alpha^{^1\!\!/\!_2} \cdot \alpha^{^1\!\!/\!_2} &=\rm \alpha^{^1\!\!/\!_2 + ^1\!\!/\!_2} = \alpha \\\\\rm \sqrt{\alpha} \cdot \sqrt{\alpha} = \alpha \end{array} [/tex]
☁️ Portanto, esse número elevado a meio é por definição chamado de raíz quadrada: [Def.] “A raíz quadrada de um número [tex] \rm \alpha [/tex] positivo, denota-se [tex] \rm \sqrt{\alpha} [/tex], é um número [tex] \rm \beta [/tex] que multiplicado por si próprio resulta em [tex] \rm \alpha [/tex].”
ℹ️₁ Por processos semelhantes, essa ideia pode ser expandida para mais dimensões, fica como curiosidade a dimensão 3:
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \alpha^{^1\!\!/\!_3} \cdot \alpha^{^1\!\!/\!_3} \cdot \alpha^{^1\!\!/\!_3} = \alpha^{^1\!\!/\!_3 + ^1\!\!/\!_3 + ^1\!\!/\!_3 } = \alpha \\\\\rm \sqrt[3]{\alpha} \cdot \sqrt[3]{\alpha} \cdot \sqrt[3]{\alpha} = \alpha \end{array} [/tex]
ℹ️₂ Considerações tomadas mediante a definição de raiz:
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \\\\\rm \\\\\rm \\\\\red{\underline{\boxed{\rm \therefore\:}}}\end{array} [/tex]
✍️ Resolvendo a expressão:
[tex] \large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm \left[ 27^{^1\!\!/\!_3} + 64^{^1\!\!/\!_2} - 8^{^2\!\!/\!_3} + 4^{^1\!\!/\!_2} \right]^{^1\!\!/\!_2} &=\rm \sqrt{\sqrt[3]{27} + \sqrt{64} - \sqrt[3]{8^2} + \sqrt{4} } \\\\&=\rm \sqrt{3 + 8 - \sqrt[3]{64} + 2} \\\\&=\rm \sqrt{3 + 8 - 4 + 2} \\\\&=\rm \sqrt{9} \end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: \left[ 27^{^1\!\!/\!_3} + 64^{^1\!\!/\!_2} - 8^{^2\!\!/\!_3} + 4^{^1\!\!/\!_2} \right]^{^1\!\!/\!_2} = 3 }}}}\end{array} [/tex]
✔️ Esse é o resultado da expressão numérica.
❏ Seção de links para complementar o estudo sobre expressão numérica, definição de raiz:
[tex]\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}[/tex]
