✅ Dada a equação diferencial ordinária homogênea de segundo grau e determinados os valores iniciais para o problema, conclui-se que sua solução específica é [tex] \rm y = \frac{7}{e^2} e^{-2x} + \frac{5}{e^2} xe^{-2x} [/tex]
☁️ Equação Diferencial Ordinária Homogênea de Segundo Grau: Uma EDO desse tipo possui a forma:
[tex] \Large \underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad \alpha(x)\dfrac{d^2y}{dx^2} + \beta(x)\dfrac{dy}{dx} + \gamma(x)y = 0 \qquad}}} [/tex]
☁️ Resolvemos encontrando a equação característica
[tex] \Large \underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad \alpha \Bbbk^2 + \beta \Bbbk + \gamma = 0 \qquad}}} [/tex]
☁️ Tal que [tex] \rm \Bbbk [/tex] é dado pela expressão resolutiva de uma equação do segundo grau
[tex] \Large \underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad \Bbbk = \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\beta ^2 - 4\alpha\gamma } }{2\alpha} \qquad}}} [/tex]
✍️ A equação característica é fácil de ser vista
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \Bbbk^2 + 4\Bbbk + 4 = 0 \\\\\rm \Bbbk = \dfrac{-4 \pm \cancel{\sqrt{4 ^2 - 4\cdot 1 \cdot 4 }}}{2} \\\\\rm \Bbbk = \dfrac{-4 }{2} \\\\\underline{\boxed{\boxed{\rm\therefore\: \Bbbk = -2}}} \end{array} [/tex]
ℹ️ Como o discriminante da eq. característica é 0, temos que a solução geral é do tipo:
[tex] \Large \underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad y = \mathbb{C}_1 e^{\Bbbk x} + \mathbb{C}_2 xe^{\Bbbk x}\qquad}}} [/tex]
❏ Logo, a solução geral da EDO dada é
[tex] \large\begin{array}{lr}{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: y = \mathbb{C}_1 e^{-2x} + \mathbb{C}_2 xe^{-2x} }}}}\end{array} [/tex]
⚠️ Note que temos valores iniciais então basta substituirmos na solução no intuito de encontrarmos as constantes [tex] \rm \mathbb{C}_1 ~e~ \mathbb{C}_2 [/tex]
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \forall~ y = 2 \land x = -1 \Rightarrow \\\\\rm 2 = \mathbb{C}_1 e^{-2 \cdot (-1)} + \mathbb{C}_2 \cdot (-1) \cdot e^{-2\cdot (-1)} \\\\\rm \mathbb{C}_1 e^{2} - \mathbb{C}_2 e^{2} = 2 \qquad(i) \end{array} [/tex]
❏ O segundo valor inicial é em função da derivada primeira da solução, logo devemos derivar. Lembre-se da regra da cadeia e da regra do produto
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm y^{\prime} = -2\mathbb{C}_1 e^{-2x} + x \cdot \left[ -2\mathbb{C}_2 e^{-2x} \right] + \mathbb{C}_2 e^{-2x} \end{array} [/tex]
❏ Substituindo
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \forall~y^{\prime} = 1 \land x= -1 \Rightarrow \\\\\rm -2\mathbb{C}_1 e^{-2\cdot (-1)} + (-1) \cdot \left[ -2\mathbb{C}_2 e^{-2\cdot(-1)} \right] + \mathbb{C}_2 e^{-2\cdot (-1) } = 1 \\\\\rm -2\mathbb{C}_1e^2 + 3\mathbb{C}_2 e^2 = 1 \qquad (ii) \end{array} [/tex]
❏ Formando um sistema com as equações (i) e (ii) e resolvendo pelo método da adição, temos:
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm \begin{cases} \rm \mathbb{C}_1e^2 - \mathbb{C}_2 e^2 = 2 ~~\cdot (3) \\\rm -2\mathbb{C}_1 + 3\mathbb{C}_2e^2 = 1 \end{cases} \qquad \sim \qquad \begin{cases} \rm 3\mathbb{C}_1e^2 \cancel{- 3\mathbb{C}_2 e^2} = 6 \\\rm -2\mathbb{C}_1 \cancel{+ 3\mathbb{C}_2e^2 }= 1 \end{cases} \\\\\rm \mathbb{C}_1e^2 = 7 \Leftrightarrow \mathbb{C}_1 = \dfrac{7}{e^2} \\\\\rm \dfrac{7}{\cancel{e^2}} \: \cancel{e^2} - \mathbb{C}_2 e^2 = 2 \\\\\rm -\mathbb{C}_2 e^2 = -5 \Leftrightarrow \mathbb{C}_2 = \dfrac{5}{e^2} \\\\{\underline{ \boxed{\boxed{\rm \therefore\:\mathbb{C}_1 = \dfrac{7}{e^2} \land \mathbb{C}_2 = \dfrac{5}{e^2} }}}}\end{array} [/tex]
✔️ Agora, sabendo das constantes, sabemos também a solução específica para esse problema de valor inicial
[tex] \large\begin{array}{lr}\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: y = \dfrac{7}{e^2} e^{-2x} + \dfrac{5}{e^2} xe^{-2x} }}}}\\ \quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\end{array} [/tex]
❏ Seção de links para complementar o estudo sobre Equação Diferencial Ordinária, PVI:
- https://brainly.com.br/tarefa/8346326
[tex]\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}[/tex]
