Por meio dos cálculos realizados, chegamos a conclusão de que metade da área desta cardioide é [tex]\boxed{\bf A = \frac{41\pi}{2}\:u.a}[/tex]
Explicação
Temos a seguinte cardioide:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: r = 4 + 3 \sin( \theta)[/tex]
O objetivo é calcularmos metade da área total desta cardioide acima.
Esta equação acima é expressa em coordenadas polares, ou seja, para o cálculo da área devemos usar um método que esteja neste mesmo sistema de coordenadas.
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: A = \int\int_C f(r,\theta) dA \\ [/tex]
Onde: C é a região de integração, [tex]\bf f(r,\theta)[/tex] é função a qual queremos a área sobre uma certa região.
Como foi dito anteriormente, a função deve ser calculada sobre uma região, onde é ela quem faz as delimitações da área, que no caso deste sistema de variáveis são o raio e o ângulo.
Portanto vamos analisar as variáveis citada acima, em relação a cardioide.
Se traçarmos uma reta radialmente partindo da origem do plano cartesiano, podemos ver que ela se estende desde o zero até a cardioide, ou seja, o raio sempre estará variando neste intervalo.
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \:\:\:\:\:\boxed{0 \leqslant r \leqslant 4 + 3 \sin( \theta)}[/tex]
A cardioide se estende sobre todo o plano cartesiano, ou seja, o ângulo de abertura dela parte de 0 e se estende até 2π. Logo:
[tex] \: \:\:\:\:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ 1)\: 0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi}[/tex]
Esta é a variação que corresponde a toda a cardioide, mas como só queremos metade, o intervalo que nos interessa parte desde 90° se estendendo até 270°.
[tex] \: \:\:\:\:\:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{2)\: \frac{\pi}{2} \leqslant\theta \leqslant \frac{3\pi}{2}} \\ [/tex]
Tendo feito a introdução, vamos partir para o cálculo em si. Atente-se ao fato de que temos duas formas realizar este cálculo.
Como as variações da cardioide como um todo são mais simples, vamos utilizar a primeira maneira para o cálculo. Logo, a integral será:
[tex] \: \: A = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4+3\sin(\theta)}f(r,\theta)dA \\ [/tex]
A função [tex]\bf f(r,\theta) [/tex] neste caso é 1, já a diferencial de área para este sistema é [tex] \bf dA = rdrd\theta[/tex]. Então:
[tex] \: \: \: A = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4+3\sin(\theta)}1rdrd \theta \\ [/tex]
Para finalizar, basta calcular cada uma das integrais separadamente, onde o resultado da interna é usado na externa.
[tex] \int_{0}^{4+3\sin(\theta)}rdr \: \: \to \: \: \left[ \frac{r {}^{2} }{2} \right]_{0}^{4 + 3 \sin( \theta)} \: \to \: \frac{(4 + 3 \sin( \theta))^{2} }{2} \\ \\ \frac{4.4 + 4.3 \sin( \theta) + (3 \sin( \theta)) {}^{2} }{2} \: \to \: \frac{16 + 12 \sin( \theta) + 9 \sin^{2} ( \theta)}{2} \\ [/tex]
Substituindo o resultado na segunda integral:
[tex] \frac{1}{2} \int \frac{16 + 12\sin( \theta) + 9 \sin {}^{2} ( \theta)}{2} \\ \\ \frac{1}{2} \cdot \left(16 \int_{0}^{2\pi}d \theta+ 12\int_{0}^{2\pi} \sin( \theta) d \theta+ 9\int_{0}^{2\pi} \sin {}^{2} ( \theta) d \theta\right)\\ \\ \frac{1}{2} \cdot \left(16 \theta \bigg|_{0}^{2\pi}- 12 \cos( \theta) \bigg|_{0}^{2\pi} + 9\int_{0}^{2\pi} \sin {}^{2} ( \theta) d \theta\right)\\ \\ [/tex]
Esta integral da potência de seno, devemos calcular separadamente, já que é necessário usar uma substituição para resolvê-la. Sendo esta:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sin {}^{2} ( \theta )= \frac{1 - \cos(2 \theta)}{2} \\ [/tex]
Substituindo e integrando, temos:
[tex]9\int_{0}^{2\pi} \sin {}^{2} ( \theta)d \theta \: \: \to \: \: 9\int_{0}^{2\pi} \left( \frac{1 - \cos(2 \theta)}{2} \right)d \theta \\ \\ \frac{9}{2} \int_{0}^{2\pi}1 - \cos(2 \theta) \: d \theta \: \to \: \frac{9}{2} \cdot \left( \int1d \theta - \int \cos( 2 \theta)d \theta\right) \\ \\ \frac{ 9\theta}{2} - \frac{ 9\sin(2 \theta)}{4} [/tex]
Alocando este resultado onde paramos:
[tex]\frac{1}{2} \cdot \left(16 \theta - 12 \cos( \theta) + \frac{9 \theta}{2} - \frac{ \sin(2 \theta)}{4} \right) \bigg|_{0}^{2\pi}\\ \\ \frac{1}{2} \cdot \: \left[ \left(16.2\pi- 12 \cos( 2\pi) + \frac{9 .2\pi}{2} - \frac{ \sin(2 .2\pi)}{4} \right) - \left(16.0 - 12 \cos(0) + \frac{9.0}{2} - \frac{ \sin(2.0)}{4} \right) \right ] \\ \\\frac{1}{2} \cdot \: \left[ \left(32\pi- 12 + 9\pi\right) - \left(- 12 \right) \right ] \: \: \to \: \: \boxed{ \bf \frac{41\pi}{2} \: u.a} \\ \\ [/tex]
Espero ter ajudado.
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