Por meio dos cálculos realizados, podemos chegar a conclusão de que através do método dos discos, obtemos a expressão do volume de uma esfera.
[tex]\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boxed{\bf V = \pi \int_{ - r}^{r}r {}^{2} - x {}^{2} \: dx = \frac{4\pi r {}^{3} }{3}}[/tex]
Explicação
O objetivo desta questão é mostrarmos que o volume de uma esfera é igual a [tex]\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \:\:\:\:\: \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \boxed{\bf V = \frac{4\pi r^3}{3}} [/tex]
- Equação da circunferência:
Para provarmos este volume, vamo iniciar por uma equação da circunferência. Pela imagem podemos ver uma esfera centrada em 0 onde o raio da mesma é r. Matematicamente:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed { \bf\: x {}^{2} + y {}^{2} + z {}^{2} = r {}^{2} }[/tex]
- Em relação a esta esfera acima, podemos associar uma equação de circunferência no plano xy.
Analogamente, a circunferência é centrada em 0 e o raio ainda permanece sendo r. Logo:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\bf x {}^{2} + y {}^{2} = r {}^{2} }[/tex]
A circunferência em si é formada por duas semicircunferências, uma que se encontra na parte positiva, e outra na parte negativa.
[tex]x {}^{2} + y {}^{2} = r {}^{2} \: \: \to \: \begin{cases}y {}^{2} = r {}^{2} - x {}^{2} \\ f(x)= \sqrt{r {}^{2} - x {}^{2} } \\ f(x) = - \sqrt{r {}^{2} - x {}^{2} } \end{cases}[/tex]
Observe que se fizermos a rotação de uma das semicircunferências em torno do eixo x, iremos gerar uma esfera com as mesmas especificações da circunferência, isto é, raio e centro.
Para encontrar a revolução da semicircunferência podemos utilizar as integrais para este cálculo.
- Primeiramente vamos pegar um pequena fatia desta semicircunferência, perpendicular ao eixo em que vamos realizar a rotação, ou seja, eixo x. Ao rotacionarmos, a semicircunferência torna-se uma esfera e a fatia infinitesimal, um cilindro.
Como este cilindro gerado através da secção é infinitesimal, isto é, muito pequeno, então podemos dizer que ele ocupará um volume tão "insignificante" que ele será dado por uma diferencial de volume.
[tex]\: \: \: \: \:\:\:\: \: \:\:\:\: \:\:\:\: \: \: \: \: \: \: dV = \pi \: . \: r {}^{2} \: . \: h[/tex]
A altura também segue a mesma lógica, já que é infinitesimal. Como ela é referente ao eixo x, digamos então que ela será uma diferencial de x.
[tex]\: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\:\:\:\:\: \: \:\: \: \: dV = \pi \: . \: r {}^{2} \: . \: dx[/tex]
Já em relação ao raio, podemos ver que ele é equivalente a semicircunferência positiva ou negativa f(x), isto quer dizer que ele varia de acordo com a função, Então podemos dizer que o raio é:
[tex]\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\:\:\:\:\:dV = \pi \: . \: [f(x)] {}^{2} \: . \: dx \: [/tex]
Como queremos saber o volume todo, que corresponde ao intervalo [tex] \bf [-r,r][/tex], podemos utilizar a a integral definida já que ela soma estes infinitos pedaços para gerar uma aproximação do real. Dito isto, vamos integrar em ambos os lados.
[tex]\: \: \: \:\:\:\: \:\ \int_{ - r}^{r}dV = \int_{ - r}^{r}\pi \: . \: [ \sqrt{r {}^{2} - x {}^{2} } \: ]^{2} \: . \: dx \\ \\ \:\:\:\:\:\:\: \: \: \boxed{ V = \pi \int_{ - r}^{r}r {}^{2} - x {}^{2} \: . \: dx }[/tex]
Para finalizar, basta resolvermos esta integral.
[tex]V = \pi\int_{ - r}^{r}r {}^{2} - x {}^{2} \: dx \: \: \to \: \:V =\pi \cdot \left(\int_{ - r}^{r} r {}^{2}dx - \int_{ - r}^{r} x {}^{2} \: dx\right)\\ \\ V =\pi \cdot \left(r {}^{2}.x \: \bigg| _{ - r}^{r} - \frac{x {}^{3} }{3}\bigg| _{ - r}^{r} \right) \: \: \to \: \: V =\pi. \left[( r {}^{2}.r - r {}^{2}.( - r) ) - \left( \frac{r {}^{3} }{3} - \frac{( - r) {}^{3 } }{3} \right)\right] \\ \\ V =\pi. \left[2r {}^{3} - \frac{2r {}^{3} }{3} \right] \: \: \to \: \: V =\pi.\left[ \frac{6r {}^{3} - 2r {}^{3} }{3} \right] \: \to \: \boxed{\bf V = \frac{4\pi r {}^{3} }{3}} \\ [/tex]
Conseguimos finalmente encontrar a expressão do volume de uma esfera.
Espero ter ajudado
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