Por meio dos cálculos realizados, chegamos a conclusão de que o volume entre estas superfícies é [tex]\boxed{\bf V = \frac{16\pi}{3}\:\:u.v}[/tex]
Explicação
Temos as seguintes relações:
[tex]z = \sqrt{x ^{2} + y ^{2} } \:\: e\:\: x {}^{2} + y {}^{2} \leq 4 [/tex]
O objetivo é determinarmos o volume do sólido formado entre estas relações acima.
Como estamos lidando com funções de duas variáveis, vamos utilizar a integração dupla para encontrar o volume deste sólido. Sendo ela:
[tex] \: \: \: \: \:\: \: \: \boxed{V = \int\int_R f(x,y)dA }\: \: \: \\ [/tex]
Vale ressaltar que é também é possível utilizar a integração tripla para encontrar o volume buscado, além de ser mais simples, a relação para o cálculo é análoga.
[tex] \: \: \: \: \: \boxed{V = \int \int\int_R f(x,y ,z ) \: dV } \: \: \: \\ [/tex]
________________________________
Como foi dito, a integral é calculada em cima de uma região, isto é, as dimensões que delimitam este sólido formado.
Se você observar a imagem anexada na resposta, é possivel ver que o disco [tex] \bf x^2 + y^2 \leq4[/tex], representa basicamente uma circunferência, onde o raio representa variação.
[tex]x {}^{2} + y {}^{2} =4 \: \: \to \: \: r {}^{2} = 4 \: \: \to \: \: r = \pm2 \\ [/tex]
O disco é formado por dois semicírculos, uma na parte positiva e outro na negativa, isto é, as limitações em y. Para encontrar as equações, basta isolar y da equação citada acima.
[tex] x {}^{2} + y {}^{2} = 4\:\to\:\:\to\:y =\pm\sqrt{4 - x {}^{2} } [/tex]
[tex]\boxed{\bf R = \{ (x,y) \: / - 2 \leqslant x \leqslant 2, \: - \sqrt{4 - x {}^{2} } \leqslant y \leqslant \sqrt{4 - x {}^{2} } \}} \\ [/tex]
Com estes dados obtidos, vamos montar a integral dupla, lembrando que a função [tex]\bf f(x,y)[/tex] é dada pela equação do plano, uma vez que [tex]\bf f(x,y) = z[/tex].
[tex]\:\:\:\:\:V = \int_{ - 2}^{2} \int_{ - \sqrt{4 - x {}^{2} } }^{ \sqrt{4 - x {}^{2} } } \sqrt{x {}^{2} } + y {}^{2} \: dydx\\ [/tex]
Note que resolver esta integral não é simples, pois a expressões possuem um certo grau de complexidade, podemos então buscar esta integral em outro sistema de coordenadas, como por exemplo as polares.
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Vamos usar as coordenadas polares para facilitar o cálculo através de substituições.
[tex] \begin{cases}r {}^{2} = x {}^{2} + y {}^{2} \\ x = r \cdot \cos( \theta) \end{cases}\:\:\:\:\begin{cases} y = r \cdot \sin( \theta) \\dA = rdrd\theta\end{cases}[/tex]
Assim como fizemos anteriormente, devemos buscar as variações, só que neste caso é um pouco diferente, já que elas se concentram apenas no raio e no ângulo de abertura.
Já determimos que o raio do disco é quem delimita x, consequentemente delimita r também. Como neste caso estamos trabalhando com o raio em si, ele não pode admitir valores negativos.
O disco faz uma volta completa, ou seja, o ângulo de abertura é 2π.
[tex]\boxed{\bf R = \{(r,\theta) \: / \: 0 \leqslant r \leqslant 2, \: 0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi\} }\\ [/tex]
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Tendo organizado estes dados, vamos finalmente calcular a integral em si.
[tex]V = \int_{ - 2}^{2}\int_{ - \sqrt{4 - x {}^{2} } }^{ \sqrt{4 - x {}^{2} } } \sqrt{x {}^{2} + y {}^{2} } \: dydx\\ \\ V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r \: rdrd \theta \:\:\to\:\: V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}r {}^{2} \: drd \theta[/tex]
Resolvendo primeiro a integral em r:
[tex]\int_{0}^{2}r {}^{2} dr \: \to \: \: \left[ \frac{r {}^{3} }{3} \right] \bigg |_{0}^{2} \: \to \: \frac{8}{3} \\ [/tex]
Substituindo o resultado na integral restante:
[tex]\int_{0}^{2\pi} \frac{8}{3} d \theta \: \to \: \: \left[ \frac{8}{3} . \theta \right] \bigg| _{ 0 }^{2\pi} \: \to \: \frac{16\pi}{3} \\ [/tex]
Portanto chegamos a conclusão de que o volume é este obtido acima.
Espero ter ajudado
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