a) Primeiro, vamos descobrir para que valor de "x" esta função tem como imagem 8:
[tex]5^{3x}=8[/tex]
[tex](5^x)^3=2^3[/tex]
[tex]5^x=2[/tex]
[tex]\log5^x=\log2[/tex]
[tex]x\cdot \log5=\log2[/tex]
[tex]x=\frac{\log2}{\log5}[/tex]
[tex]x=\log_5 2[/tex]
Sabemos então que [tex]f(\log_5 2)=8[/tex], logo [tex]a=\log_5 2[/tex].
Agora podemos encontrar aquilo que o exercício nos pede:
[tex]f(-\frac{a}{3})=f(-\frac{\log_52}{3})[/tex]
[tex]f(-\frac{a}{3})=f(-\frac{\log2}{\log5}\div 3)[/tex]
[tex]f(-\frac{a}{3})=f(-\frac{\log2}{\log5}\cdot \frac{1}{3} )[/tex]
[tex]f(-\frac{a}{3})=f(-\frac{\log2}{3\cdot \log5})[/tex]
[tex]f(-\frac{a}{3})=f(-\frac{\log2}{\log5^3})[/tex]
[tex]f(-\frac{a}{3})=f(-\frac{\log2}{\log125})[/tex]
[tex]f(-\frac{a}{3})=f(-\log_{125}2)[/tex]
[tex]f(-\frac{a}{3})=5^{3\cdot (-\log_{125}2)}[/tex]
[tex]f(-\frac{a}{3})=(5^3)^{ -\log_{125}2}[/tex]
[tex]f(-\frac{a}{3})=125^{ -\log_{125}2}[/tex]
[tex]f(-\frac{a}{3})=125^{ (\log_{125}2)\cdot(-1)}[/tex]
[tex]f(-\frac{a}{3})=(125^{\log_{125}2})^{-1}[/tex]
Note o seguinte, o [tex]\log_{125}2[/tex] representa um expoente que ao elevar o 125 resulta em 2. Aqui estamos elevando o 125 justamente a este expoente, logo:
[tex]f(-\frac{a}{3})=2^{-1}[/tex]
[tex]f(-\frac{a}{3})= \frac{1}{2}[/tex]
b) Sim, esta função é inversível. Vamos reescrevê-la trocando f(x) por y:
[tex]y=5^{3x}[/tex]
Agora para invertê-la trocamos de lugar o "x" e o "y". Depois tentamos isolar o "y":
[tex]x=5^{3y}[/tex]
[tex]5^{3y}=x[/tex]
[tex](5^3)^y=x[/tex]
[tex]125^y=x[/tex]
[tex]\log 125^y=\log x[/tex]
[tex]y\cdot \log125=\log x[/tex]
[tex]y=\frac{\log x}{\log 125}[/tex]
[tex]y=\log_{125} x[/tex]
Assim temos a função inversa:
[tex]f^{-1}(x)=\log_{125}x[/tex]
