Para a equação ser verdadeira os valores de X tem quer ser 1 ou 0
[tex]S=[1 , 0][/tex]
- Mas, como chegamos nessa resposta ?
Temos uma equação exponencial onde o X se encontra o EXPOENTE, então para encontrar seu valor temos que dominar as propriedades do expoente
Temos a seguinte equação:
[tex]9^{x-\frac{1}{2}}-\dfrac{4}{3^{1-x}}=-1[/tex]
Perceba que ela não é uma questão simples, pois vamos ter que usar algumas propriedades do expoente
Essas propriedades são:
[tex]A^M\cdot A^N=A^{M+N}[/tex]
[tex]\dfrac{1}{A^M} = A^{-M}[/tex]
[tex](A^M)^N=A^{M\cdot N}[/tex]
Vamos para questão. Como essa questão é grande vou separar a equação em duas partes
A primeira parte será [tex]9^{x-\frac{1}{2}[/tex]
Podemos reescrever essa expressão de outro modo pela propriedade [tex]A^M\cdot A^N=A^{M+N}[/tex]
[tex]\Large\text{$9^{x-\frac{1}{2}}\Rightarrow 9^x\cdot 9^{-\frac{1}{2}} $}[/tex]
9 como sendo [tex]3^2[/tex] para assim ele ficar na base 3, isso ira facilitar nossos cálculos
[tex]\Large\text{$9^x\cdot 9^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow (3^2)^x\cdot (3^2)^{-\frac{1}{2} }$}[/tex]
Podemos simplificar ainda mais com a propriedade [tex](A^M)^N=A^{M\cdot N}[/tex]
[tex]\Large\text{$(3^2)^{-\frac{1}{2} }\Rightarrow 3^{2\cdot -\frac{1}{2}}\Rightarrow 3^{-\frac{2}{2}}\Rightarrow \boxed{3^{-1}} $}[/tex]
(Não simplificarei a outra parte pois ela nos será útil mais pra frente)
Então concluirmos que [tex]\Large\text{$9^{x-\frac{1}{2}}=(3^2)^x \cdot 3^{-1} $}[/tex]
Agora vamos para segunda parte da expressão
[tex]\Large\text{$-\dfrac{4}{3^{1-x}} $}[/tex]
Bem precisamos tirar esse [tex]3^{1-x}[/tex] do denominador para isso vamos utilizar a propriedade [tex]\dfrac{1}{A^M} = A^{-M}[/tex]
[tex]\Large\text{$-\dfrac{4}{3^{1-x}} \Rightarrow -4\cdot 3^{-(1-x)}\Rightarrow \boxed{-4 \cdot 3^{-1+x}} $}[/tex]
Podemos ainda simplificar o [tex]\Large\text{$3^{1-x} $}[/tex] usando a propriedade [tex]A^M\cdot A^N=A^{M+N}[/tex]
[tex]\Large\text{$-4 \cdot 3^{-1+x} \Rightarrow \boxed{-4\cdot 3^{-1}\cdot 3^x}$}[/tex]
Então podemos concluir que
[tex]\Large\text{$-\dfrac{4}{3^{1-x}}=-4\cdot 3^x\cdot 3^{-1}$}[/tex]
agora basta substituirmos na expressão original
[tex]\Large\text{$9^{x-\frac{1}{2}}-\dfrac{4}{3^{1-x}}=-1\Rightarrow \boxed{(3^2)^x \cdot 3^{-1}-4\cdot 3^x\cdot 3^{-1}=-1} $}[/tex]
Agora utilizaremos um método chamado substituição
onde chamaremos [tex]3^X=U[/tex]
Basta substituirmos
[tex](3^2)^x \cdot 3^{-1}-4\cdot 3^x\cdot 3^{-1}=-1\\\\\\(U)^2 \cdot 3^{-1}-4\cdot U\cdot 3^{-1}=-1\\\\\\\boxed{\dfrac{U^2}{3}- \dfrac{-4U}{3}=-1 }[/tex]
Perceba que ficamos com o denominador 3 então vou multiplicar toda equação por 3 para sumir o denominador
[tex]\dfrac{U^2}{3}- \dfrac{-4U}{3}=-1 \\\\\\\left(\dfrac{U^2}{3}\right)\cdot 3- \left(\dfrac{-4U}{3}\right)\cdot 3=-1\cdot 3\\\\\\U^2-4U=-3\\\\\\\boxed{U^2-4U+3=0}[/tex]
Temos uma equação do 2° utilizaremos Bhaskara
[tex]\dfrac{-B\pm\sqrt{B^2-4\cdot A\cdot C} }{2\cdot A}[/tex]
[tex]\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3} }{2\cdot 1}\\\\\\\dfrac{+4\pm\sqrt{(16-12} }{2}\\\\\\\dfrac{+4\pm\sqrt{4} }{2}\\\\\\\dfrac{+4\pm2 }{2}\\\\\\U_1=\dfrac{6}{2} \Rightarrow 3\\\\U_2= \dfrac{2}{2}\Rightarrow 1[/tex]
Ou seja os valores U são 3 é 1, MAS lembre-se que U é igual a [tex]3^X[/tex]
então basta substituirmos
[tex]U=3 \Rightarrow 3^X=3 \Rightarrow \boxed{X=1}\\U=1 \Rightarrow 3^X=1 \Rightarrow \boxed{X=0}[/tex]
Concluirmos que os valores possíveis de X são 1 e 0
