✅ A primitiva mais geral para a função [tex] \rm f [/tex] é [tex] \rm F(x) = -\tfrac{2}{3}\cos(3x) - x^3 + \mathbb{C} [/tex]
☁️ Teorema Fundamental do ℂálculo: A integração e a derivação são processos inversos, um desfaz o outro, isto é, o processo de encontrar primitivas de uma função [tex] \rm f [/tex] é encontrar uma função [tex] \rm F [/tex] de modo que ao derivá-la retornamos a função [tex] \rm f [/tex], em linguagem matemática esse problema pode ser transcrito como
[tex] \Large \underline{\boxed{\boxed{\displaystyle \rm\qquad \int f(x)\,dx = F(x) \Leftrightarrow F^{\prime} (x) = f(x) \qquad}}} [/tex]
ℹ️ Usamos ∫ como símbolo para primitivas e dx é um operador diferencial usado para distinguir a variável a qual estamos primitivando.
❏ Há diversas funções com suas primitivas tabeladas. O que torna integração um processo mais complicado é moldar a função dada por meio de artifícios algébricos. No nosso caso é bem simples, pois as primitivas de polinômios e de funções trigonométricas são diretas.
⚠️ Funções e primitivas utilizadas:
[tex] \large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm \bullet \: \int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + \Bbbk \\\\ \displaystyle\rm \bullet\: \int \sin(x) \, dx = - \cos(x) + \Bbbk \end{array} [/tex]
☁️ Propriedades das integrais: ( utilizadas )
[tex] \large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm \bullet \: \int cf(x) \,dx = c \int f(x) \,dx \\\\\displaystyle\rm \bullet \: \int f(x) \pm g(x) \, dx = \int f(x) \,dx \pm \int g(x) \, dx \end{array} [/tex]
✍️ Expandindo com as propriedades e resolvendo
[tex] \large\begin{array}{lr} \begin{aligned} \rm \int 2 \sin(3x) - 3x^2 \,dx &= \displaystyle\rm \int 2\sin(3x) \,dx + \int - 3x^2 \,dx \\\\&= \displaystyle\rm 2\int \sin(3x) \,dx - 3\int x^2 \,dx \\\\&= \displaystyle\rm \underbrace{\rm 2\int \sin(3x) \,dx}_{\rm \star} - \cancel{3} \cdot \frac{x^3}{\cancel{3}} + \mathbb{C}_2 \end{aligned} \end{array} [/tex]
[tex] \large\begin{array}{lr}\begin{aligned} \displaystyle\rm \star ~~ 2\int \sin(3x) \,dx & \leftrightarrow \displaystyle\rm \beta = 3x \Rightarrow d\beta = 3\, dx \Rightarrow dx = \frac{d\beta}{3} \\\\&=\displaystyle\rm 2 \int \sin(\beta) \, \frac{d\beta}{3} \\\\&=\displaystyle\rm \frac{2}{3} \int \sin(\beta) \, d\beta \\\\&=\displaystyle\rm - \frac{2}{3} \cos(\beta) \\\\&=\displaystyle\rm - \frac{2}{3} \cos(3x) + \mathbb{C}_1 \end{aligned}\end{array} [/tex]
[tex] \large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm \int 2 \sin(3x) - 3x^2 \,dx = - \frac{2}{3} \cos(3x) + \mathbb{C}_1 - x^3 + \mathbb{C}_2 \\\\ \red{\underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm \therefore\: \int 2 \sin(3x) - 3x^2 \,dx = - \frac{2}{3} \cos(3x) - x^3 + \mathbb{C} }}}} \end{array} [/tex]
✔️ Essa é a família de primitivas da função dada no enunciado.
❏ Seção de links para complementar o estudo sobre primitivas, integrais indefinidas:
[tex]\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}[/tex]
