Explicação:
Quando um objeto é lançado com um ângulo alfa qualquer, chamamos de um lançamento oblíquo. Nesse tipo de lançamento o movimento na direção y é dado por um MRUV (devido a ação da aceleração da gravidade) e na direção x a um MRU (não a nenhuma força aplicada na direção x logo não a aceleração logo é um movimento com velocidade constante).
A velocidade inicial do problema é 12m/s. Precisamos decompor essa velocidade em um valor na direção x e um outro valor na direção y. Na imagem em anexo vamos como essa decomposição é feita com mais detalhes. Vemos então que:
Vxo = Vo*cos(alpha)
Vxo = 12*cos(60⁰)
Vxo = 12*(1/2)
Vxo = 6m/s
Vyo = Vo*sin(alpha)
Vyo = 12*sin(alpha)
Vyo = 6√3
Sabemos que a função horária de um MRU e de um MRUV tem as seguintes formas:
S = So + Vo*t (MRU)
S = So + Vo*t + a*t²/2 (MRUV)
Na direção x temos um MRU, logo a função horária da posição x do objeto deve ter a cara de uma equação de MRU, vimos que a velocidade inicial na direção x (Vxo) vale 6, e podemos considerar o ponto de lançamento como sendo a origem, logo So = 0, com isso a equação horária da posição na direção x do objeto é dada por:
X(t) = 0 + 6*t
X(t) = 6*t
Na direção Y, temos um MRUV, cuja a aceleração (a) é a aceleração da gravidade (-9.8m/s²), a posição inicial (So) é a altura h = 20m e Vo é igual 6√3, como terminamos anteriormente. Logo a função horária é dada por:
Y(t) = 20 + 6√3 *t - 9.8*t²/2
Y(t) = 20 + 6√3 *t - 4.9*t²
Sabemos também que a velocidade em função do tempo em um MRUV é dada por:
V(t) = Vo + a*t, logo nesse caso
Vy(t) = 6√3 - 9.8*t
Com essas informações podemos responder todos os itens.
a) A altura máxima sempre ocorre no instante t onde a velocidade em y (Vy) vale zero, para deterinar esse instante vamos utilizar a função horária da velocidade na direção y.
Vy(t) = 6√3 - 9.8*t, fazendo Vy = 0 temos
0 = 6√3 - 9.8*t
9.8*t = 6√3
t = 6√3/9.8
t = 1.06s
Agora que descobrimos em que instante ocorre a altura máxima basta substituir esse valor de t na função horária da formação y.
Y(1.06) = 20 + 6√3 *1.06 + 4.9*1.06²
Y(1.06) = 25.51m
Logo a altura máxima 25.51 metros.
b) O alcance horizontal ocorre no mesmo instante em que a altura for igual a zero, logo achando o tempo em que Y = 0, conseguimos encontrar o alcance.
0 = 20 + 6√3 *t - 4.9*t², usando Bhaskara podemos encontrar o tempo t.
t = ( -6√3 ± √((6√3)² - 4*(-4.9)*20))/2*(-4.9)
t = (-6√3 ± √500)/-9.8
t1 = (-6√3 + √500)/-9.8 = -1.22s
t2 = (-6√3 - √500)/-9.8 = 3.34s
Como um tempo negativo é impossível, o tempo em que ocorre o alcance máximo é 3.34s. Substituindo esse valor na função horária da direção x.
X(3.34) = 6*3.34
X = 20.05m
Logo a distância horizontal que o projeto percorre é de 20.05 metros.
c) A intencidade da velocidade será dada por √(Vx² + Vy²). Como na direção X temos um MRU, Vx é constante em todo o tempo logo ao tocar o solo Vx vale 6m/s. Precisamos encontrar Vy no instante em que o alvo acerta o solo, sabemos que isso ocorre em t = 3.34s. Logo substiindo esse valor na função horária da velocidade na direção Y temos que:
Vy(3.34) = 6√3 - 9.8*3.34
Vy = -22.36m/s
Logo a intencidade V vale:
V = √(6² + (-22.36)²)
V = 23.15m/s
