Oi, boa noite!
Vamos analisar os itens um por um enquanto estudamos a função g.
Item 1:
Se g(x) = f(x+1), então g(-4) = f(-4+1) = f(-3) = 0, e a função g realmente se anula em x = -4, pois g(-4) = 0. Note que f(-3) = 0 é uma informação que é dada pelo gráfico. Assim, avaliando g nos outros pontos do item, temos:
- g(-4) = 0
- g(-2) = f(-2+1) = f(-1) = 0
- g(0) = f(0+1) = f(1) = 0
Então, o item está correto.
item 2:
Como o item pede o intervalo fechado [-4, 0], consideramos que em -4 nós temos uma raíz e em 0 nós também temos outra raíz. No entanto, dentro do intervalo fechado [-4,0], nós temos uma outra raíz que é x = -2. Como -4 é raiz, de -4 até -2 a função é maior ou igual a 0, pois corresponde ao intervalo [-3,-1] da f, mas f fica menor que 0 depois da raíz -1, assim como a g ficará menor que 0 depois de -2.
Então, o item está incorreto.
item 3:
No item 3 temos um outro intervalo fechado [-3,-2], e perceba que esse intervalo é a intersecção do intervalo I = [-4,-2] com o intervalo I2 = [-3,-1]. Como é a intersecção, e sabemos que g é positiva em I assim como f é positiva em I2, o produto de dois números positivos é maior que 0.
Note que se l intervalo [-3,-2] fosse um pouco maior, então não seria verdade o que foi dito acima, já que precisamos de g e f positivas.
O item 3 está correto.
Item 4:
Temos que g(f(x)) = f(f(x) + 1). Então, precisamos que exista um x ∈ (0, 1) onde a função acima seja menor que 0. Assim, note que o maior valor de x no intervalo do item é 1 (x não pode igual a 1, mas vamos considerar apenas para analisar). Nesse caso onde x = 1, temos que:
- f(f(1) + 1 ) = f(0 + 1) = f(1) = 0
Além disso, o menor valor de x dentro daquele intervalo é x = 0, e nesse caso:
- f(f(0)+1) = f(-5+1) = f(-4) < 0.
Então, como no menor valor do intervalo (0,1), temos que g(f(x)) < 0, e no maior valor de (0,1) g(f(x)) = 0, temos que pelo teorema do valor intermediário que existe x ∈ (0, 1) onde g(f(x)) < 0.
Então, o item está correto.
Gabarito:
d) I, III, IV
