Por meio dos cálculos realizados, obtemos que a primitiva desta função é dada por [tex]\boxed{\bf F(x) = \frac{x^4}{4}+x+C,\:C\in\mathbb{R}}\\[/tex].
Explicação:
Temos a seguinte função:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf f(x) = 2x {}^{7} + 1[/tex]
O objetivo é determinarmos a função primitiva.
Encontrar a primitiva de uma função, quer dizer determinar a função que deu origem a uma outra por meio da derivação. Em outras palavras, devemos realizar a operação inversa.
- Um exemplo de primitivação simples é tomar que a derivada da função [tex] \bf y = 8x^3[/tex] é [tex]\bf y' = 24x^2[/tex], portanto temos que [tex]8x^3[/tex] é uma primitiva de [tex] 24x^2[/tex].
Conclusão: [tex] \bf f'[/tex] é a derivada de [tex] \bf f \Longleftrightarrow f[/tex] é uma primitiva de [tex] \bf f'[/tex].
A família de primitivas é dada por uma mesma função, onde há apenas uma variação chamada de constante de integração, sendo esta representada por um valor numérico.
- Um exemplo de uma família de primitivas é [tex]\bf f(x) = 3x^3 + c [/tex], observe que ao derivarmos obtemos [tex] \bf f'(x) = 9x^2[/tex]. Caso haja a substituição de c por um valor numérico, a derivada sempre se manterá com o mesmo resultado, uma vez que a derivada de uma constante é igual a zero.
Esta tal primitivação citada anteriormente é feita através de uma ferramenta matemática chamada de integral. Ao invés de escrevermos que [tex]8x^3[/tex] é uma primitiva de [tex] 24x^2[/tex], podemos dizer que:
[tex] \: \: \: \int 24x {}^{2} = 8x {}^{3} + C, \: C \in\mathbb{R} \\ [/tex]
- Sendo (dx) o termo que indica em qual variável que estamos integrando tal função.
Portanto chegamos a conclusão que para encontrar a primitiva, basta encontrar a integral da derivada.
[tex] \: \boxed{ \int f'(x) \: dx = f(x) + C, \: C\in\mathbb{R}} \\ [/tex]
________________________________
Sabendo da parte teórica, vamos partir para os cálculos em si. Como foi dito anteriormente, a primitiva é dada pela integral da derivada, ou seja, no nosso caso [tex]\bf f'(x) = 2x^7+1[/tex]. Logo:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \int 2x {}^{7} + 1 \: dx \\ [/tex]
Para resolvermos esta integral, vamos utilizar algumas propriedades. Iniciando pela propriedade que nos diz que a integral da soma de funções é igual a soma das integrais de cada uma destas funções. Matematicamente:
[tex]\boxed{\bf 1) \: \int( f(x) \pm g(x)) dx= \int f(x)dx \pm \int g(x)dx }\\ [/tex]
Aplicando na integral que montamos:
[tex] \int 2x {}^{7} + 1 \: dx = \int 2x {}^{7} dx + \int 1dx \\ [/tex]
Para finalizarmos, necessitaremos que outra propriedade, conhecida por ser a regra da potência para integrais, sendo esta bem parecida com a regra da potência para as derivada.
[tex]\boxed{\bf 2) \: \int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} C, \: C\in\mathbb{R}} \\ [/tex]
Vale ressaltar que em nossa integral temos o termo 1 para ser integrado, mas para melhorar o entendimento da aplicação desta regra acima, vamos considerá-lo sendo [tex] \bf x^0[/tex], já que qualquer número, elevado a zero é um, com excessão do próprio número 0. Portanto:
[tex] \int 2x {}^{7}dx + \int 1dx = 2. \frac{x {}^{7 + 1} }{7 + 1} + 1.\frac{x {}^{0 + 1} }{0 + 1} \\ \\ \int 2x {}^{7}dx + \int 1dx = \frac{2x {}^{8} }{8} + x \\ \\ \int 2x {}^{7}dx + \int 1dx = \boxed{\bf \frac{x {}^{8} }{4} + x + C, \: C\in\mathbb{R}}[/tex]
Portanto esta é a função que representa a família de primitivas de [tex]f(x) = 2x^7+1 [/tex].
Espero ter ajudado.
Leia mais sobre em:
https://brainly.com.br/tarefa/6817333
https://brainly.com.br/tarefa/3811075
