Por meio dos cálculos realizados, foi possível observar que o resultado é dado por uma superestimação da Área real [tex]\boxed{\bf A_{real}=\frac{3}{4}\:u.a}[/tex], sendo o valor da aproximação [tex]\boxed{\bf A_{aprox.}\approx \frac{19}{25}\:u.a}[/tex]
Explicação
Temos a seguinte função:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\:\: \: \: \: \: \: \boxed{\bf f(x) = x {}^{3} - x + 1}[/tex]
O objetivo desta questão é calcularmos a área através de estamitiva, ou seja, aproximação.
Para solucionar esta questão, podemos usar um método chamado de Soma de Riemann, que trata-se da aproximação de uma área (X), através da soma da área de retângulos.
A relação usada para esta estimação é dada :
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\boxed{ \bf A = \sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x}\\ [/tex]
- Onde: [tex] \bf\Delta x[/tex] representa a base do retângulo e é calculado por [tex]\bf\Delta x = \frac{b-a}{n}\\ [/tex] e [tex] \bf x_i[/tex] representa os valores do intervalo, sendo dado por [tex]\bf x_i = a + \Delta x\cdot i [/tex].
- Superestimação e Subestimaçao:
Como a questão não fala como deve ser a disposição dos retângulos, vamos usar a Soma de Riemann a direita, ou seja, os retângulos devem tocar a curva com seus cantos superiores direitos.
- Como este método é de aproximação, então os valores obtidos serão ligeiramente maiores ou menores que o valor real.
Sendo S a soma de Riemann e A a área real, temos que quando S > A, há uma superestimação e quando S < A, uma subestimação.
- Organização dos dados / Cálculo:
Pelo enunciado, sabemos que o intervalo é [tex]\bf [0,1][/tex], já que a função é limitada por funções em x. O valor de n que representa as partições (retângulos) é igual a 5 e [tex]\bf\Delta x=0,2 [/tex].
Substituindo os dados na relação de Riemann.
[tex]A = \sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x \\ \\ A = \sum_{i=1}^{n}f \left(a + \frac{b - a}{n} i \right)\frac{b - a}{n} \\ \\ A = \sum_{i=1}^{5}\: f \left(0 + \frac{1- 0}{5} i \right)\frac{1 - 0}{5} \\ \\ A = \sum_{i=1}^{5}\: f \left(\frac{i}{5} \right)\frac{1 }{5} [/tex]
Como i representa a posição dos valores do intervalo, e são 5 valores, então:
[tex]A = f \left( \frac{1}{5} \right) \frac{1}{5} + f \left( \frac{2}{5} \right) \frac{1}{5} + f \left( \frac{3}{5} \right) \frac{1}{5} + f \left( \frac{4}{5} \right) \frac{1}{5} + f \left( \frac{5}{5} \right) \frac{1}{5} \\ [/tex]
Teremos então que calcular o valor da função para cada um desses valores de x e depois substituir na relação acima.
[tex] f\left( \frac{1}{5} \right) = \left( \frac{1}{5} \right) ^{3} - \left( \frac{1}{5} \right) + 1 = \frac{101}{125}\\ \\ f \left( \frac{2}{5} \right) = \left( \frac{2}{5} \right) ^{3} - \left( \frac{2}{5} \right) + 1 = \frac{83}{125} \\ \\ f \left( \frac{ 3}{5} \right) = \left( \frac{3}{5} \right) ^{3} - \left( \frac{3}{5} \right) + 1 = \frac{77}{125} \\ \\ f \left( \frac{4}{5} \right) = \left( \frac{4}{5} \right) ^{3} - \left( \frac{4}{5} \right) + 1 = \frac{89}{125} \\ \\ f \left( \frac{5}{5} \right) = \left( \frac{5}{5} \right) ^{3} - \left( \frac{5}{5} \right) + 1 =1 [/tex]
Substituindo os dados na relação da área:
[tex][tex]A = \frac{101}{125} .\frac{1}{5} + \frac{83}{125} . \frac{1}{5} + \frac{77}{125} .\frac{1}{5} + \frac{89}{125} \frac{1}{5} + 1. \frac{1}{5} \\ \\ \boxed{ \bf A = \frac{19}{25} \: u.a \: \: ou \: \: 0.76 \: u.a}[/tex]
Portanto este é o valor da área através de um método aproximação.
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Só por motivos de curiosidade, vamos fazer este mesmo cálculo, mas usando a integral em si.
[tex] \int_{0}^{1} x {}^{3} - x + 1 \: dx = \left(\frac{x {}^{4} }{4} - \frac{x {}^{2} }{2} + x \right)\bigg | _{0}^{1} \\ \\ \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \boxed{\bf \frac{3}{4} \:u.a \: \: ou \: \: 0.75\: u.a}[/tex]
Se você comparar, os valores obtidos pelos dois métodos foram bem parecidos.
Espero ter ajudado
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brainly.com.br/tarefa/51415872
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