Resposta:
matriz inversa de M
[tex]M=\left[\begin{array}{ccc}1&3\\5&2\end{array}\right] \\[/tex]
Vamos representar a matriz inversa de forma algébrica:
[tex]M^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right][/tex]
O produto entre essas matrizes tem que ser igual a I₂
[tex]M\times M^{-1}=I\\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}1&3\\5&2\end{array}\right] \times\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right] \\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}a+3c&b+3d\\5a+2c&5b+2d\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right][/tex]
Separar o problema em dois sistemas de equações
[tex]\left \{ {{a+3c=1} \atop {5a+2c=0}} \right.[/tex]
Pela adição:
multiplica a + 3c =1 por -5
[tex]\{-\not5a-15c=-5\\ \{+\not5a+2c=0\\ \\ -15c+2c=-5\\ \\ -13c=-5~~~~\times(-1)\\ \\ 13c=5\\ \\\boxed{ c=\dfrac{5}{13}}\\ \\ \\ a+3c=1\\ \\ a+3.(\dfrac{5}{13})=1\\ \\ \\ a+\dfrac{15}{13}=1\\ \\ \\ a=1-\dfrac{15}{13}\\ \\ \\ a=\dfrac{13-15}{13}\\ \\ \\ \boxed{a=-\dfrac{2}{13}}[/tex]
[tex]\left \{ {{b+3d=0} \atop {5b+2d=1}} \right.[/tex]
Pela adição:
multiplica b+3d por -5
[tex]\{-\not5b-15d=0\\ \{+\not5b+2d=1\\ \\ \\ -15d+2d=1\\ \\ -13d=1~~~~\times(-1)\\ \\ 13d=-1\\ \\ \\\boxed{ d=-\dfrac{1}{13}}\\ \\ \\ b+3d=0\\ \\ b+3.(-\dfrac{1}{13})=0\\ \\ \\ b-\dfrac{3}{13}=0\\ \\ \\\boxed{ b=\dfrac{3}{13}}[/tex]
Conhecendo todos os termos da matriz M⁻¹
Substituir pelos valores
[tex]M^{-1}=\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{13}&\dfrac{3}{13}\\ \\ \dfrac{5}{13}&-\dfrac{1}{13}\end{pmatrix}[/tex]
