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Sagot :
Para calcular o comprimento de arcos de curvas, utilizamos a seguinte expressão:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: C = \int\limits_{t_1}^{t_2}||r'(t)|| dt \\ [/tex]
Como a questão nos dá os dados em coordenadas polares, temos que fazer uma modificação nesta expressão acima. Como sabemos, a norma da derivada é dada por:
[tex]r'(t) = \: < x'(t) , y'(t) > \\ | |r'(t)| | = \sqrt{( x'(t)) {}^{2} + ( y'(t)) {}^{2} } [/tex]
Substituindo no integrando:
[tex]C = \int\limits_{t_1}^{t^2}\sqrt{( x'(t)) {}^{2} + ( y'(t)) {}^{2} } dt \\ [/tex]
Em coordenadas polares x e y dão dados de uma forma diferente, como é mostrado abaixo, isto é, podemos fazer a derivação de ambas e substituir na expressão do comprimento.
[tex] \begin{cases} x = r \: . \: \cos( \theta) \: \: \to \: \:x' = r' . \cos( \theta) - r. \sin( \theta)\\ y = r \: . \: \sin( \theta) \: \: \to \: \:y' =r'. \sin( \theta) + r.\cos( \theta)\end{cases}[/tex]
Substituindo em C:
[tex]C = \int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{(r. \cos( \theta) - r. \sin( \theta)) {}^{2} + (r. \sin( \theta) + r. \cos( \theta)) {}^{2} } \: \: dt \\ \\ C = \int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{((r' )^{2} .( \cos {}^{2}( \theta) + \sin {}^{2} ( \theta)) + r {}^{2} .( \sin {}^{2} ( \theta) + \cos {}^{2} ( \theta)) } \: \: dt \\ \\ \boxed{C = \int\limits_{ \theta_1}^{ \theta_2}\sqrt{(r' )^{2} + r {}^{2} }d \theta}[/tex]
Agora basta substituir os dados do nosso problema nesta expressão acima.
[tex]C = \int\limits_{0}^{ \frac{2\pi}{3} }\sqrt{((3 \theta {}^{2} )') {}^{2} + (3 \theta^{2} )^{2} } \: d \theta \\ \\ C = \int\limits_{0}^{ \frac{2\pi}{3} } \sqrt{ (6 \theta) {}^{2} + 9 \theta^{4} } \: d \theta \\ \\ C = \int\limits_{0}^{ \frac{2\pi}{3} } \sqrt{36 \theta {}^{2} + 9 \theta {}^{4} } \: d \theta \\ \\ C = \int\limits_{0}^{ \frac{2\pi}{3} } \sqrt{9 \theta {}^{2}.(4 + \theta ^{2} ) } \: d \theta \\ \\ C = \int\limits_{0}^{ \frac{2\pi}{3} } 3 \theta \sqrt{4 + \theta {}^{2} } \: d \theta[/tex]
Resolvendo por substituição de variável:
[tex]n = 4 + \theta {}^{2} \: \: \to \: \: \frac{dn }{d \theta} = 2 \theta \: \: \to \: \frac{dn}{2} = \theta \: d \theta \\ [/tex]
Substituindo as informações:
[tex]C =3 \int\limits_{0}^{ \frac{2\pi}{3} } \sqrt{n} . \frac{dn}{2} \: \: \to \: \: C = \frac{3}{2} \int\limits_{0}^{ \frac{2\pi}{3} } \sqrt{n} \: dn \\ \\ C = \frac{3}{2} \int\limits_{0}^{ \frac{2\pi}{3} }n {}^{ \frac{1}{2} } dn \: \: \to \: \: C = \frac{3}{2} . \frac{n {}^{ \frac{1}{2} + 1} }{ \frac{1}{2} + 1 } \bigg | _ {0}^{ \frac{2\pi}{3} } \\ \\ C = n {}^{ \frac{3}{2} } \bigg | _ {0}^{ \frac{2\pi}{3} } \: \: \to \: \: \boxed{C =(4 + \theta^{2} ) {}^{ \frac{3}{2} } \bigg | _ {0}^{ \frac{2\pi}{3} } }[/tex]
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
[tex]C = \left(4 +\left( \frac{2\pi}{3}\right) ^{2} \right) ^{ \frac{3}{2} } - (4 + (0) {}^{2} ) {}^{ \frac{3}{2} } \\ \\ C = \left(4 + \left( \frac{4\pi {}^{2} }{9} \right)\right)^{ \frac{3}{2} } - 4 {}^{ \frac{3}{2} } \\ \\ \boxed{C \approx 16,29 \: u.a}[/tex]
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