[tex]-\frac{11}{4}[/tex]Explicação passo a passo:
As raízes de uma função são os pontos em que o y [ou f(x)] são
equivalentes a zero. Com isso, teremos essas duas equações:
[tex]x^2 -2x-8 = 0\\4x^2 +11x -3 =0[/tex]
Dentre os métodos utilizados para encontrar as raízes, para o Ensino Médio possuímos a fórmula de Bháskara e o método da soma e produto. Esse segundo método é mais rápido, porém nem sempre pode ser aplicado com facilidade. Veremos a aplicação de ambos os métodos em cada equação:
Pela soma e produto:
a) [tex]x^2 -2x-8=0[/tex]
Sabemos que em uma equação do segundo grau genérica [tex]ax^2 + bx +c =0[/tex], a soma equivale a [tex]-\frac{b}{a}[/tex], enquanto o produto equivale a [tex]\frac{c}{a}[/tex]. Portanto:
Soma = [tex]-\frac{(-2)}{1} = 2[/tex]
Produto = [tex]\frac{-8}{1} = -8[/tex]
Agora, sobra-se um exercício de raciocínio apenas: Quais dois números quando somados resultam em 2 e quando multiplicados resultam em -8?
Com isso, chegamos de modo simples aos números 4 e -2.
E essas são as raízes.
b) [tex]4x^2 + 11x -3 = 0[/tex]
Aplicando o que foi explicado acima:
Soma = [tex]-\frac{11}{4}[/tex]
Produto = [tex]\frac{-3}{4}[/tex]
Quando possuímos soma e produtos fracionários, normalmente é mais dificil de deduzir as raízes racicionando. Então nesses casos, é melhor utilizar o próximo método que é a fórmula de Bháskara.
Pela fórmula de Bháskara:
Sabemos que a fórmula de Bháskara para uma equação genérica [tex]ax^2 + bx +c =0[/tex] é:
[tex]x = \frac{(-b) +- \sqrt{b^2-4ac} }{2a}[/tex]
Então:
a) [tex]x^2 -2x-8=0[/tex]
Já descobrimos que o método da soma e produto é mais veloz para a resolução dessa equação. Porém, caso tenha dúvidas, poderá comparar os resultados dos dois métodos para ver se batem.
Aplicando a fórmula:
[tex]x = \frac{(-(-2)) +- \sqrt{(-2)^2-4*1*(-8)} }{2*1}\\\\x = \frac{2 +- \sqrt{4 + 32} }{2}\\\\x = \frac{2 +- \sqrt{36} }{2}\\\\x = \frac{2 +- 6 }{2}\\\\x_1 = \frac{2 + 6 }{2} =\frac{8}{2} = 4\\\\x_2 = \frac{2 - 6 }{2} = \frac{-4 }{2} =-2[/tex]
Como podemos ver, encontramos as mesmas raízes: 4 e -2
b) [tex]4x^2 +11x -3 =0[/tex]
Aplicando a fórmula:
[tex]x = \frac{(-(11)) +- \sqrt{(11)^2-4*4*(-3)} }{2*4}\\\\x = \frac{-11 +- \sqrt{121 + 48} }{8}\\\\x = \frac{-11 +- \sqrt{169} }{8}\\\\x = \frac{-11 +- 13 }{8}\\\\x_1 = \frac{-11 + 13 }{8} =\frac{2}{8} = \frac{1}{4}\\\\x_2 = \frac{-11 -13 }{8} = \frac{-24 }{8} =-3[/tex]
Explicação passo-a-passo:
x²-2x-8=0
a=1
b=-2
c=-8
∆=b²-4ac
∆=(-2)²-4*1*-8
∆=4+32
∆=36
-b±√∆/2a
2±√36/2*1
2±6/2
4x²+11x-3=0
a=4
b=11
c=-3
∆=b²-4ac
∆=11²-4*4*-3
∆=121+48
∆=169
-b±√∆/2a
-11±√169/2*4
-11±13/8
