De acordo com os cálculos abaixo, os valores de x, y e z são, respetivamente, 24º, 48º e 72º.
Para resolver este exercício, há que relembrar as Propriedades dos Ângulos Excêntricos de uma Circunferência:
[tex]\text{Numa circunfer}\hat{\text{e}}\text{ncia que possua um }\hat{\text{a}}\text{ngulo exc}\hat{\text{e}}\text{ntrico ACE, com v}\acute{\text{e}}\text{rtice}\\\text{fora desta, e que a intersete nos pontos A, B, D e E, tem-se que:}\\\\\boxed{A\hat{C}E=\dfrac{\stackrel{\frown}{AE}-\stackrel{\frown}{BD}}{2}}[/tex]
Exemplo:
[tex]\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\bezier(-3,0)(-2.78,2.78)(0,3)\bezier(0,3)(2.78,2.78)(3,0)\bezier(3,0)(2.78,-2.78)(0,-3)\bezier(0,-3)(-2.78,-2.78)(-3,0)\put(-3.5,-1){\line(6,1){9}}\put(5.5,0){\line(-6,1){9}}\put(-2.9,1.6){\text{A}}\put(3.1,0.5){\text{B}}\put(4,-0.2){\text{C}}\put(3,-0.4){\text{D}}\put(-3.2,-1.3){\text{E}}\end{picture}[/tex]
[tex]\text{Numa circunfer}\hat{\text{e}}\text{ncia que possua um }\hat{\text{a}}\text{ngulo exc}\hat{\text{e}}\text{ntrico ACE, com v}\acute{\text{e}}\text{rtice}\\\text{dentro desta, e que a intersete nos pontos A, B, D e E, tem-se que:}\\\\\boxed{A\hat{C}E=\dfrac{\stackrel{\frown}{AE}+\stackrel{\frown}{BD}}{2}}[/tex]
Exemplo:
[tex]\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\bezier(-3,0)(-2.78,2.78)(0,3)\bezier(0,3)(2.78,2.78)(3,0)\bezier(3,0)(2.78,-2.78)(0,-3)\bezier(0,-3)(-2.78,-2.78)(-3,0)\put(-3.5,-2){\line(3,1){8}}\put(4.5,-1){\line(-3,1){8}}\put(-2.9,1.6){\text{A}}\put(3.1,0.4){\text{B}}\put(1.9,0){\text{C}}\put(3,-1){\text{D}}\put(-2.7,-2.1){\text{E}}\end{picture}[/tex]
Com estas propriedades, podemos definir equações para y e para z:
[tex]y=\dfrac{\stackrel{\frown}{AB}-\stackrel{\frown}{CD}}{2}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow y=\dfrac{5x-x}{2}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow y=\dfrac{4x}{2}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow y=2x[/tex]
[tex]z=\dfrac{\stackrel{\frown}{AB}+\stackrel{\frown}{CD}}{2}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow z=\dfrac{5x+x}{2}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow z=\dfrac{6x}{2}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow z=3x[/tex]
Para calcular o valor de x, sabemos que:
[tex]x+3x+5x+6x=360^\circ\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 4x+5x+6x=360^\circ\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 9x+6x=360^\circ\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 15x=360^\circ\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x=\dfrac{360^\circ}{15}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x=24^\circ[/tex]
Com o valor de x, podemos determinar y e z:
[tex]y=2x=2\times24^\circ=48^\circ[/tex]
[tex]z=3x=3\times24^\circ=72^\circ[/tex]
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