Resposta:
a ) { x ∈ |R | - ∞ < x < + ∞ }
Esta inequação é válida para todos os números reais
b ) { x ∈ |R | 2 - √46 ≤ x ≤ 2 + √46 }
ou
na forma de intervalo [ 2 - √46 ; 2 + √46 ]
Explicação passo a passo:
Para fazer a análise do sinal de uma parábola ( gráfico de
funções do 2º grau como estas ) precisamos primeiro de saber
o valor do binómio discriminante ( Δ = b² - 4 * a * c )
Com isso sabemos a quantidade de zeros reais.
a)
– x² – 11x – 42 < 0
– x² – 11x – 42
a = - 1
b = - 11
c = - 42
Δ = b² - 4 * a * c
Δ = ( - 11 )² - 4 * ( - 1 ) * ( - 42 ) = 121 - 168 = - 47
Sendo Δ < 0 então
– x² – 11x – 42 < 0 para todos os números reais que "x" tome.
A função vai ter gráfico todo abaixo do eixo do x
( ver gráfico em anexo 1 )
{ x ∈ |R | - ∞ < x < + ∞ }
b )
x² – 4x – 42 ≤ 0
a = 1
b = - 4
c = - 42
Δ = ( - 4 )² - 4 * 1 * ( - 42 ) = 16 + 168 = 184
√Δ = √184
Raiz quadrada de 184 não dá um número inteiro.
Vamos decompor 184 em fatores primos, para simplificar a raiz
quadrada.
184 | 2 [tex]\sqrt{184}=\sqrt{2^2*2*23} =\sqrt{2^2} *\sqrt{46} =2\sqrt{46}[/tex]
92 | 2
46 | 2
23 | 23
1
[tex]x1 = (- (-4)+2\sqrt{46}) /(2*1)[/tex]
Colocando no numerador o 2 em evidência
[tex]x1 = (+4+2\sqrt{46}) /2=\dfrac{2*(2+\sqrt{46}) }{2} =2+\sqrt{46}[/tex]
[tex]x1 = (+4-2\sqrt{46}) /2=\dfrac{2*(2-\sqrt{46}) }{2} =2-\sqrt{46}[/tex]
Tem duas raízes reais distintas.
Como o a = 1 logo > zero
e
a parábola tem curvatura virada para cima
Essa função x² – 4x – 42 tem valor negativos entre as raízes.
A inequação
x² – 4x – 42 ≤ 0
é válida no intervalo [ 2 - √46 ; 2 + √46 ]
( ver em gráfico no anexo 2 )
Bons estudos.
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( * ) multiplicação ( / ) divisão ( ∈ ) pertence a
( | ) tal que ( | R ) conjunto números reais
( > ) maior do que
