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Determine a derivada direcional de f(x,y)=x3y4+x4y3 no ponto (1,1) e na direção θ=π/4.

resposta com raciocinio por favor

Sagot :

⇒    Aplicando nossos conhecimentos sobre Derivadas Direcionais, concluímos que a derivada direcional pedida é  7√2.

☛     A derivada direcional da função   [tex]f(x,y,z)[/tex]   no ponto   [tex]P(a,b,c)[/tex]   e na direção do vetor unitário   [tex]\hat{u}[/tex]   é denotada por   [tex]D_uf(P)[/tex]   e definida como   [tex]D_uf(P)=\nabla f(P)\cdot \hat{u}[/tex] .

Aqui temos   [tex]f(x,y)=x^3y^4+x^4y^3[/tex]  . O gradiente da função é

[tex]\nabla f=\partial f/\partial x \ \hat{i}+\partial f/\partial y \ \hat{j} =(3x^2y^4+4x^3y^3)\hat{i}+(4x^3y^3+3x^4y^2)\hat{j}[/tex]

No ponto (1, 1),    [tex]\nabla f(1,1)=(3+4)\hat{i}+(4+3)\hat{j}=7\hat{i}+7\hat{j}[/tex]

O vetor unitário   [tex]\hat{u}[/tex]   é   [tex]\cos\theta\hat{i}+\sin\theta\hat{j}=\frac{\sqrt2}{2}\hat{i}+\frac{\sqrt2}{2}\hat{j}[/tex]

Portanto, a derivada direcional é igual a

[tex](7\hat{i}+7\hat{j})\cdot(\frac{\sqrt2}{2}\hat{i}+\frac{\sqrt2}{2}\hat{j})=\frac{7\sqrt2}{2}+\frac{7\sqrt2}{2}=7\sqrt2[/tex]

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