Resposta:
k = -1
Explicação passo a passo:
Aqui estou supondo que seja o limite [tex]\lim_{x\to5}f(x)[/tex]
Sabemos que o limite existe se os limites laterais são iguais, ou seja
[tex]\lim_{x\to5^-}f(x) = \lim_{x\to5^+}f(x)[/tex]
Vamos pegar o limite do lado esquerdo, sabemos que f a esquerda de x é definida por [tex]f(x) = \sqrt{x^2-9}[/tex], portanto
[tex]\lim_{x\to5^-}f(x) = \lim_{x\to5^-}\sqrt{x^2-9} = \sqrt{25-9} = 4[/tex]
Sabendo isso vamos determinar o limite do lado direto.
A função do lado direito esta definida por f(x) = x + k, portanto
[tex]\lim_{x\to5^+}f(x) = \lim_{x\to5^+}x+k = 5+k[/tex]
Como ambos limites laterais precisam ser iguais, temos que
5+k = 4
Com isso concluímos que k = -1.