O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro β, de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é de D) 5.
Sobre funções trigonométricas (resolvendo a questão)
Essa questão envolve a aplicação prática das funções trigonométricas. Vamos resolvê-la?
- Primeiro, devemos estar atentos ao texto da questão, que nos diz que "é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante t = 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm".
- Perceba que, deduzindo a partir da figura da questão, quando t = 0 o pistão está em (-90º).
- O pistão deverá ter deslocamento no sentido anti-horário e para que a altura alcance o valor de 6, necessariamente o ângulo de inclinação deverá estar em (30º ou 150º) + k.360º, uma vez que h(t) = 4 + 4 sen ( X ) = 6
sen (X) = 2/4
sen (X) = 1/2
- O pistão, pois, começa em (-90º), girando no sentido anti-horário. Quando o pistão atingir 30º, vamos estar em h = 6, assim quando for atingido 30º vamos estar de novo (pela segunda vez) em h = 6. Ainda, o pistão voltará a atingir h=6, ou seja, pela terceira vez quando o ângulo for = (30° + 360°) = 390º, sendo que esse ciclo deve levar menos que 4s para que tenhamos um motor reconhecido como de boa potência.
- A velocidade ao giro é dada por β, sendo que quanto maior for β, então, mais voltas teremos por s. Assim, devemos chegar ao tempo necessário para um volta, cumprindo os critérios colocados. Vamos lá: Δθ = θ final - θ inicial => Δθ = 390º - (-90º) => Δθ = 390º +90º => Δθ = 480º.
- Seguimos com um regra de 3:
480º - 4 segundos
360º - x segundos
x = (360 . 4) / 480
x = 3s
- Chegamos, a partir do percurso acima, ao dado segundo o qual o t para um giro completo é de 3s. Seguimos para achar o valor de β.
- Temos, portanto, o seguinte: altura mínima do pistão em h(0), o que se repete em 3s. Assim h(3) = 0, desse modo, temos:
h(3) = 4 + 4 sen ( β.3/2 - π/2)
0 = 4 + 4 sen [ (3β - π)/2]
-4 = 4 sen [ (3β - π)/2]
sen [ (3β - π)/2] = -1
- O ângulo que possui seno -1 é 270º. Assim:
sen [ (3β - π) / 2] = sen (3π / 2)
(3β - π) / 2 = 3π/2
3β - π = 3π
3β = 3π + π
3β = 4π
β = 4π/3
β ≅ 4,19
- Encontramos o valor de 4,19, no entanto a questão nos pede o menor valor inteiro, assim o menor valor inteiro é 5.
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Bons estudos!
