A área máxima do galpão será de 50 m².
Vejamos o enunciado completo desse exercício:
Um galpão retangular deve ser construído num terreno com a forma de um triângulo, conforme a figura que está anexada a essa resposta. Determinar a área máxima possível para o galpão.
Resolveremos esse exercício em etapas, o que devemos fazer primeiramente é nomear x a medida CD do retângulo e y a medida CF do retângulo.
Portanto, temos que:
CD = x
CF = y
Montando a equação de semelhança de triângulos para ABC e BEF, temos:
10/20 = x/(20 - y)
Desenvolvendo essa equação, fazendo a multiplicação cruzada, temos:
10 . (20 - y) = 20x
200 - 10y = 20x
Isolando o x, temos:
x = 10 - 0,5.y
Lembrando que a área do retângulo é x.y, como encontramos o valor de x, podemos reescrever a área do retângulo como:
x . y =
= (10 - 0,5.y).y =
= 10y - 0,5y²
Queremos que a área estabelecida por essa fórmula seja a maior possível, ou seja, precisamos calcular os pontos de máximo dessa função.
Fórmula do Xv, que dá o valor da medida de y em que a área será máxima:
Xv = -b/2a = -10/(2.(-0,5)) = 10 m
Quando a área for máxima, y irá valer 10 m.
Fórmula do Yv, que dá a área máxima do retângulo CDEF:
Yv = -Δ/(4.(a))
Δ = b² - 4.a.c =
Δ = 10² - 4 . (-0,5) . (0)
Δ = 100
Yv = -Δ/(4.(a)) = -100/(4.(-0,5)) = 50 m²
Portanto a área máxima do retângulo será de 50 m², sendo que y irá valer 10m e x valerá 5 m.
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