Explicação passo a passo:
Primeiro vamos reescrever a soma como
[tex]\sum^{\infty}_{n=1}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}) = \sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2+n}[/tex]
Sabemos que [tex]n^2 \leq n^2 + n \Rightarrow \frac{1}{n^2+n} \leq \frac{1}{n^2}[/tex],
Como a série [tex]\sum\frac{1}{n^2}[/tex] converge temos que [tex]\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2+n}[/tex] também converge.
Agora vamos analisar as somas parciais:
[tex]\sum^{k}_{n=1}\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}+\dots-\frac{1}{k} + \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}[/tex]
Note que podemos fazer uma soma telescópica e cortar os termos sobrando
[tex]\sum^{k}_{n=1}\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{k+1}[/tex]
Agora utilizando a definição sabemos que
[tex]\sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \lim_{k\to\infty}\sum^{k}_{n=1}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}[/tex]
E como
[tex]\sum^{k}_{n=1}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{k+1} \Rightarrow \lim_{k\to\infty}\sum^{k}_{n=1}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = \lim_{k\to\infty}1 - \frac{1}{k+1} = 1[/tex]
Temos finalmente que
[tex]\sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = 1[/tex]