Resposta:
B)
Explicação passo a passo:
[tex]y = \frac{3x^3 + 3x^2-6x}{x^2-4} + \frac{x^2-4x+4}{x^2-2x}\\\\y = \frac{3x(x^2+x-2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{x^2-4x+4}{x(x-2)}[/tex]
Veja que nos numeradores ficamos com expressões de segundo grau:
x² + x - 2 e x² - 4x + 4
Devemos fatorá-las, ou seja, transformar em um produto de duas expressões, para podermos encontrar um fator em comum com o denominador e cancelá-los.
Existem várias formas de fazer isso, vou fazer da mais fácil de entender (embora um pouco mais trabalhosa).
Considere que x² + x - 2 é uma equação do segundo grau do tipo
x² + x - 2 = 0 e resolva normalmente pela fórmula:
[tex]\Delta = 1^2 -4.1.(-2) = 9\\x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2.1}\\x_1 = -2\\x_2 = 1[/tex]
Toda expressão de segundo grau pode ser escrita na forma [tex]a(x-x_1)(x-x_2)[/tex], onde x1 e x2 são as raízes da equação.
Então agora que achamos as raízes (x1 e x2), podemos escrever:
[tex]x^2 + x - 2 = 1(x-(-2))(x-1)\\\\\bold{x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)}[/tex]
Com a expressão x² - 4x + 4 é a mesma coisa, com o único detalhe que terá duas raízes iguais a 2.
Daí basta continuar:
[tex]\\\\y = \frac{3x(x+2)(x-1)}{(x+2)(x-2)} + \frac{(x-2)(x-2)}{x(x-2)}\\\\y = \frac{3x(x-1)}{(x-2)} + \frac{(x-2)}{x}\\\\y = \frac{3x(x-1).x + (x-2)(x-2)}{x(x-2)}\\\\y = \frac{3x^3-3x^2 + x^2-4x+4}{x(x-2)}\\\\\boxed{y = \frac{3x^3-2x^2 -4x+4}{x(x-2)}}[/tex]
