Vamos iniciar expandindo a expressão de A, de forma que apareça o seno, isto é, expandindo as expressões da tangente, secante e cotangente.
[tex] \sf tg(x ) = \frac{ sen(x)}{cos(x)} \: \bigg | \: cotg(x) = \frac{cos(x)}{sen(x)} \: \bigg| \: sec(x) = \frac{1}{cos(x)} \\ [/tex]
Substituindo estas informações na expressão:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \sf A = \frac{cos(x) + \frac{sen(x)}{cos(x)} }{ \frac{cos(x)}{sen(x)} .\frac{1}{cos(x)} } \\ [/tex]
Para prosseguir com o cálculo, é necessário o valor do cosseno. Para isso basta utilizar a relação fundamental da trigonometria e o valor do seno informado no enunciado.
[tex] \sf sen {}^{2} (x) + cos {}^{2} (x) = 1 \: \: \to \: \: \sf \left( \sf \frac{4}{5} \right)^{2} +cos {}^{2} (x) = 1 \\ \\ \sf\frac{16}{25} + cos {}^{2} (x) = 1 \: \: \to \: \: cos {}^{2} (x) = 1 - \frac{16}{25} \\ \\ \sf cos {}^{2} (x) = \frac{25 - 16}{25} \: \: \to \: \: cos (x) = \pm \sqrt{ \frac{9}{25} } \\ \\ \sf cos(x) = \pm \frac{3}{5} [/tex]
No enunciado também é dito que o x pertence ao primeiro quadrante onde o seno, cosseno e tangente são positivos, ou seja, vamos apenas considerar o valor positivo obtido. Substituindo na relação expandida:
[tex] \sf A = \frac{ \frac{3}{5} + \frac{ \frac{4}{5} }{ \frac{3}{5} } }{ \frac{ \frac{3}{5} }{ \frac{4}{5} } \: . \: \frac{1}{ \frac{3}{5} } } \: \to \: A = \frac{ \frac{3}{5} + \frac{4}{3} }{ \frac{3}{4} \: . \: \frac{5}{3} } \: \: \to \: \: \sf A = \frac{ \frac{9 + 20}{15} }{ \frac{5}{4} } \\ \\ \sf A = \frac{ \frac{29}{15} }{ \frac{5}{4} } \: \: \to \: \: \boxed{ \sf A = \frac{ 116}{75} }[/tex]
Espero ter ajudado
