Bem-vindo ao Sistersinspirit.ca, onde você pode obter respostas rápidas e precisas com a ajuda de especialistas. Nossa plataforma de perguntas e respostas oferece uma experiência contínua para encontrar respostas confiáveis de uma rede de profissionais experientes. Descubra soluções confiáveis para suas perguntas de uma vasta rede de especialistas em nossa abrangente plataforma de perguntas e respostas.
Sagot :
- Equação Cartesiana:
Vamos iniciar esse cálculo encontrando a equação cartesiana do plano. Inicialmente vamos nomear um ponto [tex] \sf P(x,y,z)[/tex] qualquer pertencente ao plano, pois como sabemos a equação cartesiana é dada pelo produto escalar entre o vetor normal ao plano e o vetor formado por um ponto conhecido e outro desconhecido.
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf \vec{n} \: \cdot \: \vec{AP} = 0}[/tex]
- Vetor AP:
O vetor [tex]\sf \vec{AP}[/tex] pode ser calculado pela subtração do ponto final pelo inicial, isto é, o ponto P subtraído do A.
[tex] \sf \vec{AP} = P - A \: \: \to \: \: \vec{AP} = (x,y,z) - (1, - 1,0) \\ \\ \sf\vec{AP} = (x - 1, \: y + 1, \: z)[/tex]
- Vetor normal (n):
A questão nos fornece dois vetores que são paralelos ao plano, ou seja, podemos calcular o produto vetorial dos dois, pois como sabemos o produto vetorial gera um outro vetor que é perpendicular aos vetores envolvidos.
[tex] \sf \vec{n} = \vec{u} \: \times \: \vec{v} \: \: \to \: \: \vec{n} = \begin{bmatrix} \sf i& \sf j& \sf k \\ \sf u_{x}& \sf u_{y} & \sf u_{z} \\ \sf v_{x}& \sf v_{y} & \sf v_{z} \end{bmatrix} \\ \\ \sf \vec{n} = \begin{bmatrix} \sf i& \sf j& \sf k \\ \sf 3& \sf - 1 & \sf 4 \\ \sf 1& \sf 0 & \sf - 1 \end{bmatrix} \: \to \: \vec{n} = \sf 1i + 7j + 1k[/tex]
Substituindo o vetor normal e o vetor AP na fórmula, temos então que a equação cartesiana é:
[tex] \sf (1, \: 7, \: 1) \: \cdot \: (x - 1, \: y + 1, \: z) = 0 \\ \sf 1.(x - 1) + 7.(y + 1) + 1.z = 0 \\ \sf x - 1 + 7y + 7 + z = 0 \\ \boxed{ \sf x + 7y + z + 6 = 0}[/tex]→ Portanto esta é a equação cartesiana do plano.
- Equações Paramétricas:
Para a equação paramétrica, devemos apenas lembrar da equação vetorial do plano:
[tex] \: \: \: \: \: \boxed{\sf (x,y,z) = A + \lambda_1\vec{u}+\lambda_2\vec{v}}[/tex]
Substituindo os dados que possuímos:
[tex] \sf (x,y,z) = (1,-1,0) + \lambda_1 \cdot (3,-1,4)+\lambda_2 \cdot (1,0,-1) \\ \sf (x,y,z) = (1,-1,0) + (3 \lambda_1,-1\lambda_1 ,4 \lambda_1 ) + (1\lambda_2 ,0 \lambda_2 ,-1 \lambda_2 ) \\ \sf (x,y,z) = (3\lambda_1 + \lambda_2 + 1, \: - 1\lambda_1 - 1 , \: 4\lambda_1 - 1\lambda_2) \\ \sf\pi : \begin{cases} \sf x = 3 \lambda_1 + \lambda_2 + 1 \\ \sf y = -1 \lambda_1 - 1 \\ \sf z =4\lambda_1 - \lambda_2\end{cases}[/tex]
Espero ter ajudado
Obrigado por sua visita. Estamos comprometidos em fornecer as melhores informações disponíveis. Volte a qualquer momento para mais. Obrigado por visitar. Nosso objetivo é fornecer as respostas mais precisas para todas as suas necessidades informativas. Volte em breve. Estamos felizes em responder suas perguntas no Sistersinspirit.ca. Não se esqueça de voltar para mais conhecimento.