Resposta:
864
Explicação passo a passo:
Vamos chamar de p o total de páginas do livro.
No primeiro dia, a mãe terminou a leitura na página [tex]\frac{1}{32}.p[/tex]
No segundo dia, a mãe terminou a leitura na página [tex]\frac{1}{12}.p[/tex]
O enunciado disse ainda que as últimas páginas dos dois dias possuem dois algarismos e que são iguais.
Então, por exemplo, se no primeiro dia a mãe terminou a leitura na página 25, no segundo dia terá parado a leitura na página 52.
Vamos chamar um algarismo de x e o segundo de y.
No primeiro dia, o número da última página tem a forma: 10x + y
- Aqui, x está nas dezenas e y nas unidades.
No segundo dia, o número última página tem a forma: 10y + x
- Aqui y está nas dezenas e x nas unidades.
Note que x e y devem ser números inteiros, positivos, diferentes, não nulos e entre 1 e 9.
Com base nisso, podemos fazer as seguintes igualdades:
[tex]\frac{1}{32}p = 10x + y\\\\\frac{1}{12}p = 10y + x[/tex]
Vamos isolar o y na primeira equação, substituir na segunda e simplificar ao máximo:
[tex]y = \frac{1}{32}p-10x\\\\\frac{1}{12}p = 10(\frac{1}{32}p-10x) + x\\\\\frac{1}{12}p = \frac{10}{32}p-100x + x\\\\\frac{1}{12}p = \frac{10}{32}p-99x \ \ \ (multiplica \ toda \ a \ equacao \ por \ 96)\\\\8p = 30p - 9504x\\\\22p = 9504x\\\\p = 432x[/tex]
Com base nessa relação, sabendo que x é um inteiro entre 1 e 9, podemos testar os valores para achar o p e y correspondentes e ver em qual opção atende todas as exigências.
É de se esperar que achemos apenas uma possibilidade, do contrário o problema não teria apenas uma solução.
[tex]\begin{array}{c|c|cc}\boxed{x}&\boxed{p}&\boxed{y}\\1&432&3,5&(nao \ inteiro)\\\bold{2}&\bold{864}&\bold{7}& (ok)\\3&1296&10,5& (nao \ inteiro \ e \ >9)\\4&1728&14& (> 9)\\5&2160&17,5& (nao \ inteiro \ e >9)\\6&2592&21& (>9)\\7&3024&24,5& (nao \ inteiro \ e >9)\\8&3456&28& (>9)\\9&3888&31,5& (nao \ inteiro \ e >9)\end{array}[/tex]
Então vemos que apenas para x = 2 o y é um inteiro positivo e entre 1 e 9, no caso, 7.
Para esse valor o p = 864.
