o Valor de X é [tex]-\dfrac{3}{2}[/tex]
Temos a seguinte equação exponencial
[tex]0,2^x=\sqrt{125}[/tex]
O primeiro passo para achar o X é igualar as bases
perceba que temos um 0,2, geralmente em questões exponenciais temos que transforma o número decimal em fração para facilitar a conta
[tex]0,2=\dfrac{1}{5}[/tex]
substituindo na expressão temos
[tex](\dfrac{1}{5} )^X=\sqrt{125}[/tex]
Perceba que podemos igualar as base transformando os dois termos em base 5
Podemos aplicar a propriedade da potencia [tex]\dfrac{1}{X} = X^{-1}[/tex]
[tex]\dfrac{1}{5}= 5^{-1}[/tex]
Aplicando a propriedade de potencia em raiz: [tex]\sqrt[M]{X^N}= X^{\frac{N}{M}[/tex]
[tex]\sqrt[2]{125} \\\\\\\sqrt[2]{5^3}\\ \\\\5^{\frac{3}{2} }[/tex]
Ou seja podemos reescrever a expressão da seguinte forma
[tex](\dfrac{1}{5} )^X=\sqrt{125}\Rightarrow \boxed{5^{-x}=5^{\frac{3}{2} }}[/tex]
aplicando a propriedade de potencias de base igual
[tex]\boxed{A^X=A^Y\Rightarrow X=Y}[/tex]
[tex]5^{-x}=5^{\frac{3}{2} }\\\\\\-X=\dfrac{3}{2} \\\\\\\boxed{X= -\dfrac{3}{2}}[/tex]
o Valor de X é [tex]-\dfrac{3}{2}[/tex]
Prova real, basta substituirmos X por [tex]-\dfrac{3}{2}[/tex]
[tex](\dfrac{1}{5} )^X=\sqrt{125}\\\\\\(\dfrac{1}{5} )^-\frac{3}{2} =\sqrt{125}\\\\\\5^\frac{3}{2} =\sqrt{125}\\\\\\\sqrt{5^3} =\sqrt{125}\\\\\\\boxed{\sqrt{125} =\sqrt{125}}[/tex]
Provamos que estamos certos
