Desejamos calcular o seguinte limite exponencial:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x \end{gathered}$}[/tex]
Para isso, vale ressaltar o seguinte limite fundamental exponencial:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\sf \lim_{x \to \infty} \left( 1+\frac{1}{x}\right)^x=e \end{gathered}$}[/tex]
Com isso, vamos então fazer uma substituição, chamando então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\sf u=x-1\implies x=u+1\end{gathered}$}[/tex]
E se x tente ao infinito, logo u também tenderá ao infinito pois [tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\sf u=x-1\implies u= \infty-1\implies u=\infty\end{gathered}$}[/tex]. Com isso, temos que aquele limite é igual a:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x = \lim_{u \to \infty} \left(\frac{u+1+3}{u}\right)^{u+1} \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x = \lim_{u \to \infty} \left(1+\frac{4}{u}\right)^{u+1} \end{gathered}$}[/tex]
Veja que já está bem parecido com o limite fundamental, vamos agora fazer outra substituição. Chamando então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf \frac{4}{u} =\frac{1}{t} \implies u=4t \end{gathered}$}[/tex]
Destarte, surge que:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf \lim_{u \to \infty} \left(1+\frac{4}{u}\right)^{u+1} = \lim_{t \to \infty} \left(1+\frac{1}{t}\right)^{4t+1} \end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sf \lim_{u \to \infty} \left(1+\frac{4}{u}\right)^{u+1} = \lim_{t \to \infty} \left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\right]^4\cdot \lim_{t \to \infty} \left(1+\frac{1}{t}\right)\end{gathered}$}[/tex]
E por fim, temos que:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\sf \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x =e^4\cdot 1 \end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \therefore \boxed{\sf \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+3}{x-1}\right)^x =e^4} \end{gathered}$}[/tex]
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