Temos o seguinte limite:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \sf\lim _{x\to \:\infty }\:\frac{2x-\sqrt{x^2+1}}{3x^2-\sqrt{x^{4\:}+1}} \\ [/tex]
Para resolver este limite, vamos utilizar aquela técnica de dividir todos os termos pelo exponente de maior potência. Analisando a expressão, a maior potência é x², mesmo que tenha x⁴, ele está dentro de uma raiz, ou seja, uma hora ou outra isso virá a ser um x².
[tex] \sf\lim _{x\to \:\infty }\:\frac{ \frac{2x}{x {}^{2} } - \frac{\sqrt{x^2+1}}{x {}^{2} }}{ \frac{3x {}^{2} }{x {}^{2} } - \frac{\sqrt{x^{4\:}+1}}{x {}^{2} }} \: \to \: \sf\lim _{x\to \:\infty } \frac{ \frac{2}{x} - \sqrt{ \frac{x {}^{2} + 1}{x {}^{4} } } }{3 - \sqrt{ \frac{x {}^{4} + 1}{x {}^{4} } } } \\ \\ \sf \sf\lim _{x\to \:\infty } \frac{ \frac{2}{x} - \sqrt{ \frac{x {}^{2} }{x {}^{4} } + \frac{1}{x {}^{4} } } }{3 - \sqrt{ \frac{x {}^{4} }{x {}^{4} } + \frac{1}{x {}^{4} } } } \: \to \: \sf\lim _{x\to \:\infty } \frac{ \frac{2}{x} - \sqrt{ \frac{1}{x {}^{2} } + \frac{1}{x {}^{4} } } }{3 - \sqrt{1 + \frac{1}{x {}^{4} } } } [/tex]
De acordo com um certo Teorema, sabemos que:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\sf\lim _{x\to \pm\:\infty } \frac{1}{x {}^{n} } = 0}[/tex]
Quando x tende a um valor muito grande e este valor se encontra em um denominador, temos que ele se aproxima muito de zero, fazendo com que o limite venha ser igual a zero. Aplicando este Teorema no limite:
[tex]\sf\lim _{x\to \:\infty } \frac{ \cancel{\frac{2}{x}} {}^{0} - \sqrt{ \cancel{ \frac{1}{x {}^{2} } + \frac{1}{x {}^{4} }} {}^{0} } }{3 - \sqrt{1 + \cancel{\frac{1}{x {}^{4} }} {}^{0} } } \: \to \: \sf\lim _{x\to \:\infty } \frac{ 0 - \sqrt{0} }{3 - \sqrt{1} } \\ \\ \sf \sf\lim _{x\to \:\infty } \frac{0}{2} = 0[/tex]
Portanto temos que este limite é igual a 0.
[tex] \: \: \: \: \: \: \boxed{\sf \lim _{x\to \:\infty }\:\frac{2x-\sqrt{x^2+1}}{3x^2-\sqrt{x^{4\:}+1}} = 0}[/tex]
Espero ter ajudado
