Resposta:
1. A função corta o eixo OY no ponto (0,36) e não possui raízes reais.
2. A função corta o eixo OY no ponto (0,1) e possui raízes [tex]x_1=\dfrac{-2-\sqrt{7}}{3} \ e \ x_2=\dfrac{-2+\sqrt{7}}{3}[/tex].
3. A função corta o eixo OY no ponto (0,-48) e possui raiz [tex]x=6[/tex].
4. A função corta o eixo OY no ponto (0,54) e possui raiz [tex]x=-18[/tex].
Explicação passo a passo:
Para responder a esta questão vamos utilizar conceitos relacionados as funções afim e quadrática.
1. Seja a função quadrática [tex]y = f (x) = 4(x - 3)^2 + 24x[/tex].
Primeiramente vamos colocá-la na forma geral [tex]y=ax^2+bx+c[/tex] desenvolvendo o produto notável.
[tex]y=4(x-3)^3+24x\\\\y=4(x^2-6x+9)+24x\\\\y=4x^2-24x+36+24x\\\\y=4x^2+36[/tex]
a. O gráfico que representa uma função quadrática intersepta o eixo OY no ponto de coordenadas [tex](0,c)[/tex], neste caso, o ponto [tex](0,36)[/tex].
b. Para obter as raízes ou zeros da função basta igualarmos a função a zero.
[tex]y=4x^2+36\\\\4x^2=-36\\\\x^2=-9[/tex]
Como não existe valor real que satisfaça a condição acima, dizemos que a função não possui raízes reais.
c. Como o gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola, esta possui um intervalo onde é crescente e outro onde é decrescente determinado pelas coordenadas de seu vértice:
[tex]V=(x_v,y_v)\\\\V=\left(-\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{\Delta}{4a}\right)[/tex]
Calculando [tex]x_v[/tex] temos:
[tex]x_v=-\dfrac{0}{8}=0[/tex]
E como [tex]a=4>0[/tex] a concavidade é voltada para cima a função é:
Decrescente para [tex]x\leq0[/tex] e crescente para [tex]x>0[/tex]
d. O gráfico encontra-se na figura 1 abaixo.
2. Seja a função [tex]y = f (x) = - 3x^2 -4x + 1[/tex].
a. As coordenadas do ponto de interseção com o eixo OY são dadas por [tex](0,1)[/tex].
b. Igualando a função a zero e resolvendo a equação do 2º grau resultante temos:
[tex]-3x^2-4x+1=0\\\\\Delta=b^2-4ac\\\\\Delta=(-4)^2-4\cdot (-3)\cdot 1\\\\\Delta=16+12\\\\\Delta=28\\\\x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\x=\dfrac{4\pm2\sqrt{7}}{-6}\\\\x_1=\dfrac{-2-\sqrt{7}}{3} \ e \ x_2=\dfrac{-2+\sqrt{7}}{3}[/tex]
c. Obtendo a coordenada do x do vértice temos:
[tex]x_v=-\dfrac{-4}{-6}=-\dfrac{2}{3}[/tex]
E sabendo que [tex]a=-3<1[/tex] a concavidade é voltada para baixo, logo a função é crescente para [tex]x\leq-\dfrac{2}{3}[/tex] e decrescente para [tex]x>-\dfrac{2}{3}[/tex]
d. O gráfico encontra-se na figura 2 abaixo.
3. Seja a função afim [tex]y = f (x) = 4(x - 12) + 4x[/tex] inicialmente vamos colocar a função na forma [tex]y=ax+b[/tex] aplicando a propriedade distributiva.
[tex]y=4(x-12)+4x\\\\y=4x-48+4x\\\\y=8x-48[/tex]
a. Como a função é afim, esta corta o eixo OY no ponto [tex](0,b)[/tex], portanto [tex](0,-48)[/tex].
b. Igualando a função a zero temos:
[tex]8x-48=0\\\\8x=48\\\\x=6[/tex]
c. Como temos [tex]a=8>0[/tex] a função é classificada como crescente.
d. O gráfico encontra-se na figura 3 abaixo.
4. Dada a função afim [tex]y = f (x) = 3x + 54[/tex] temos:
a. Que a mesma intersepta o eixo OY no ponto [tex](0,b)[/tex], isto é, no ponto [tex](0,54)[/tex]
b. Igualando a função a zero obtemos:
[tex]3x+54=0\\\\3x=-54\\\\x=-18[/tex]
c. Como [tex]a=3>0[/tex] a função afim é crescente.
d. O gráfico encontra-se na figura 4 abaixo.
Para saber mais sobre função afim acesse: https://brainly.com.br/tarefa/20718741
E para função quadrática acesse:
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