Questão 1: Temos a seguinte integral:
[tex] \sf \int \left[ sen( \sqrt{3} x) - cos \left( \frac{x}{ \sqrt{2} } \right) + \frac{1}{2x} \right ] dx \\ [/tex]
Primeiramente, vamos utilizar a propriedade que nos diz que a integral da soma é igual a soma das integrais, matematicamente tem-se:
[tex] \boxed{ \sf\int [f(x) + ... + p(x) ]dx = \int f(x) \: dx + \int ... \: dx + \int p(x) \: dx }\\ [/tex]
Aplicando esta informação, temos:
[tex] \sf \int sen( \sqrt{3} x) \: dx - \int cos \left( \frac{x}{ \sqrt{2} } \right) \: dx+ \int \frac{1}{2x} \: dx \\ \\ \sf \int sen( \sqrt{3} x) \: dx - \int cos \left( \frac{x}{ \sqrt{2} } \right) \: dx+ \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x} \: [/tex]
Para resolver a primeira integral, vamos utilizar o método da substituição de variável:
[tex] \sf \int sen( \sqrt{3} x)dx \: \to \: u = \sqrt{3} x \\ \\ \sf \frac{du}{dx} = \sqrt{3} \: \to \: dx = \frac{du}{ \sqrt{3} } [/tex]
Substituindo essa informação na integral:
[tex] \sf \int sen(u). \frac{du}{ \sqrt{3} } \: \: \to \: \: \frac{1}{ \sqrt{3} } \int sen(u)du \\ \\ \sf \frac{1}{ \sqrt{3} }( - cos(u)) \: \to \: \boxed{ - \sf \frac{cos( \sqrt{3}x) }{ \sqrt{3} } }[/tex]
Aplicando a mesma lógica na segunda, temos:
[tex] \sf \int cos\left( \frac{x}{ \sqrt{2} } \right)dx \: \: \to \: \: u = \frac{x}{ \sqrt{2} } \\ \\ \sf \frac{du}{dx} = \frac{1}{ \sqrt{2} } \: \to \: \sf dx = \sqrt{2} du[/tex]
Substituindo na integral:
[tex] \sf \int cos(u). \sqrt{2} du \: \: \to \: \: \sqrt{2} \int cos(u)du \\ \\ \sf \sqrt{2} .sen(u) \: \: \to \: \boxed{\sf\sqrt{2} .sen\left( \frac{x}{ \sqrt{2}} \right)}[/tex]
A terceira integral é mais simples de resolução:
[tex] \sf \int \frac{1}{2x} dx \: \: \to \: \: \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x} \: \: \to \: \: \boxed{ \sf \frac{1}{2}. \ln( |x| ) }\\ \\ [/tex]
Portanto, temos que a reposta é dada por:
[tex] \boxed{- \sf \frac{cos( \sqrt{3}x) }{ \sqrt{3} } - \sf\sqrt{2} .sen\left( \frac{x}{ \sqrt{2}} \right) + \sf \frac{1}{2}. \ln( |x| ) + c }\\ [/tex]
Para que você possa praticar, deixarei a segunda questão para que você responda usando como base esta resposta que dei.
